II. — TransverGaîes dans le triangle

309. Lorsqu'une' transversale aùc [fig. 2i,3 et 2o3'j rencontre les trois côtés d'un triangle ABC, regardés comme indéfinis, chacun des poinls d'intersection n,/',c, est l'origine commune dedeux segments ayant pour extrémitOà les extrémités du côté que l'on considère. Ainsi, sur AB, sont les

doux segments ck et cB, sur BC les segmenta «B et aC, et sui" CA les segments bÙ et ÔÂ. Les deux segments relatifs à un même côté sont de signes contraires ou de môme signe (303), suivant que la transversale coupe le côté Ini-méme ou son prolongement.

THÉORÈME

3 1 0. Qiwnd un Iriangle ABC est coupé par une transversale abc [Jîg. soi

''t 'oî'), il existe, entre tes segnwnts que cette droite détermine sur les côtés,

a\:.' Ok' cV,"

En effet, en manant CD parallèle ù AB, ou a, dans les tria blablesflCD, «Bc,

.3 les triangles semblables iCD, bck

LIVUE [1[. — LES FiGURES SEllBLAliLES. 211

il stiffit donc de multiplier ces deux proportions membre à racmijre pour avoir la relation (i), qui se trouve ainsi démontrée en valuur absolue.

ii resle à prouver que, eu égard aux signes des àugmenls, c'est le signe + qui convient au second membre de celte égalité. Or il ne peut se préseiiler que deux cas : la transversal coupe deux côtés et le prolongement du iroisièine [Jig. 2o3), ou elle coupe les prolongements des trois côtés (/g.2o3'). Dans le premier cas, deux des rapports quiCgureut . dans le premier membre sont négatifs, et le troisièiiie positif; dans le second cas, les trois rapports sont positirs. Le produit des trois rapports a donc toujours !e signe -h .

Réciproquement, si sur fcv lri}i.\ cotes d'un tiUmgle ABC coiisidêi-és comme indéfinis, on prend Iroii pnùits ii, b, c, îekrjus la rctiition (ij soil satisfaite, ces trois points seront en ligne droite.

En ['(Tet, on désignant par c' le point où la droite nù rencontre AB, on a, d'aorès Cf qui précède,

«B ftC r^^A aC'bk'e'B '■

par suite, en comparant cette relation à la relation [i), qui est satisfaite

c-B cli

Donc I :i(yii c' coïncide avec c, ut les trois points a, b, e, sont en ligne droite.

Observons que la relalion [ij, qu'on prend ici pour bypotbèse, exige que le nombre des rapports négatifs du premier membre soit pair, c'està-dire que, parmi les trois points a, b, c, il y en ait un nombre pair situé sur les côtés et, par suite, un nombre impair sur les prolongements.

On peut encore remarquer que les numérateurs des trois rapports sont trois segments sans extrémités communes; il eu est de même pour les dénominateurs.

Le théorème qui précède, attribué à HénéiaOs, géomètre grec antérieur do près d'un siècle à Ptûléméo, sert à prouver que trois points d'une figure sont en ligne droite; outre cet usage spécial, il intervient souvent d'une manière utile comme intermédiaire dans certaines démonstrations.

Dans ce théorèmo.les seuls signes qui interviennent sont ceux des trois rapports formés par les couples de segments relatifs à chaque côté du triangle ; il n'est donc pas nécessaire de fixer les signes des segments euxmêmes. Il suffit, par exemple, dans la fig. aoî, de donner à iC et à bA des signes opposés, que le sens positif des segments comptés sur AC soii AC ou CA.

yGoosle

213 GÉOMÏiin,lll TLaKE.

Touiefois, il est souvent commode dans les applications de fixer le sens positif pour chaque cûtô du triangle ABC. Supposons, par exemple, qu'on adopte pour sens positif de ehaque côté le sens dans lequel ce côtiS esl parcouru quand on décrit le contour du triangledans l'ordre alphabétique ABC ; alors, dans la/i,'. 2o3, les segments cBel tA seront seuls positifs, les autres seront négatifs; dans la Jîg. 2o3', tous les segments seront négatifs; diiiis les deux cas, le nombre des segments négatifs étant pEiir, lo premier membre de la relation (i) aura lo signa -i-, comme cela doit

311. Les droites menées d'un même point 0 {Jîg. 2c4 et în.ij trois sommets d'un triangle ABC rcneontrent tes côtés oppose'!!, ciinsii comme indifjtnis, en trois points a, b, c, qiù satisfont à la i-clalion

Eli cffcl, le U-iangk AGn, coupi; par la trûiisreriale lib, (

]i(t OA ia:

Le triangle Alirt, coupé par la transversale Ce, donne à son tour

C«'Oa'cIS"~ '■ En multipliant membre à membre ces deux Égalités, on obtli

jB 6C cA CB rtC'ÉA cB'DG"''

qui

e diil'Jre pas do la relation (i), puisque ^^ ~