LIVRE ni. — LtS FiGURKS SE>ir>I,ABLi;5, or

Bfciproquement, si, par les somnwts d'un triangle ABC. o/t mi-né

trois droites A'i, B6, Ce, Celles que lii relation (a) soit vérific'c, cei trois

droites passent par un même point.

Eu elfet, en désignant par 0 le point de concours de ha et de Bi, ut

par c' le point où CO rencontre le côtii AB, on a, d'après ce qui prùcéde,

nB ^ ^ __ (iC'ôA'fii" ''

d'où, en comparant avec la reklion (a) qui est satisfaile par hypothèse,

Les points e 6t c' coïncident dont; (303); en d'autres termes, la droite Ce passe par l'intersection 0 de Au et de lAb.

CoROLLiiaE .

312. Le théorème qui précède, dû à Jean de Céva, géomètre italien du xvi" siècle, sert à prouver que trois droites d'une figure sont concourantes; il peut aussi intervenir comme auxiliaire utile dans certaines démo nstratioiss.

Voici quelques exemples :

1° Dans tonl triangle AliC, les irais médianes A«, Bi, Ce, passent par lin inciiie point; car cliacuii des rapports qui figurent dans le premier

En effet, en vertu du n" ISi, les rapports négatifs C[ui figurent dans le premier membre de la relation (2) sont, en valeur absolue, rcspeeiivoment égaux aux rapports

Ait BÇ AC AC' AB' BC' dont le produit est égal à i.

On verrait de mâme que les bissectrices des suppléments de deux angles et la bissectrice dit troisième angle passent par un même point.

3° Dans tout triangle ABC, les vois /latilciirsXa.'Bù, Ce, passent par 117/ miSme point.

En effet, les triangles somblaljles BAi, CAc donnent

3ï4 UÉOMÉTRIE TLANE.

et l'on a de même

d'oii l'on voit, en niiiltipliaiit membre à membre, que le produit

bX cB

1 valeur absolue, égal & i. D'ailleurs, chacun do ci

trois rapports est négatif; donc leur produit est égal à — i.

313. Si par les sommets d'un triangle ABC on mène trois droites quelconques rencontrant respectivement les côtés opposés en n, b, c, on a ta relation (fg. 2o5)

-ïB bÇ cX sincAB sinéBC: sincCA ^^ aC' bk' cB ^ sin«AC'siiiiBA'sincCB'

Ec effet, les triangles f/AB et nCA donnent (30")

oW BA nC CA

sinBAf/ ~ sinA./B' sinCA« " iiiiAaC

d'où, C" divisant membre à membre,

rtB AB sin^AB.

(7C~ AG sinaAC'

et il suffit de ti'ansporter cette valeur et !os valeurs analogues de -j-v i

-^ dans le premier membre de |3) pour tomber sur le second mombre.

De ce lemme et des théorèmes de Ménélaus et do Jean de Céva, l'ésulienl immédiatement les propositions suiiantes :

i" Si par les trois sommets d'un triangle ABC nn mène trais droites rencii'itrnnt les eâiés opposés aux trois points a, b, c situés en ligne droite, on a la relation

sinfîAB sinÈBC sincHA^ sinaAC'siftiBà'iincCU "" '*

a° Quand trois droites issues des sommets d'un triangle ABC passent par un même pfînt 0, on a

sinOAB sinOBG sinOCA ^ sinOAC'siiiUBA'iinUCB" ''

■ LES FIGURES SEllEt

31i. On appelle qaa II jl \ ( i mée par !e sysIÈme de quatre droites ou. e d t es te I G f mé n proloiigediit jusqu'à leurs points ds t E t F I 6 é ppo é d'un quadrilatère ordinaire ABCD U i d l tè pi t ABCDEt' [fg. 206) a sis sommets et trois d les 1 t t lôs p nts d'intersectîonA, B, G, D, E, 1', d q t d dé t les diagonales sonl les droites AC, BD EF q j t ! t pi de sommets

I pi t d 1 U des transver-

sales, deux propriétés f d I d j d 1 i lot.

THÉORÈME

33 5. Darif tout quadrilntèie ooviplct, chaque diagonale est dU'isée Itnrmonîijiiemeni par les deux aiurcs (Pappus, Math, coll., lib. ill, propositio lag).

Soit, par exemple, la diagonale EF qui est coupée en P et en Q par les

diagonales ACetBl'^y(g.aoo;illsal;u^J^; prouver la relation (180; 303 j

' ' PF' QF^

11 atifllt, pour cela, de diviser membre à membre les deux égalités

QE DF M t 1!5 DF BA QF*DA*UE ' I'f'da'be"" ''

dont fa première s'obtient en appliquant le théorème de MénélaDs au triangle AEF coupé par la transversale BD, et dont la seconde résulte de l'application du théorème do Céva au même triangle AEF et aux trois droites CA, CE, CF.

Corollaire.

316. Co Ihéorème fournit un moyen 1res simpie pour construire, avec la l'Ègle seule, le conjugué liai'monique Q d'un point P par rapport à une droite £F. On mène par ? une droile quelconque PCA; en joignant deux points A et C pris à volonté sur cette droite ouï points E et F, an obtient un quadrilatère complet dont la diagonale BD va couper W au point demandé Q.

THÉOIiÈîiE.

337. Dans tout quatlrilatère complet, las milieux des trois dingonnles tant en ligne droite .

En effet, soient {fig. 20 7) ABGDEF un quadrilatère complet, et L, JI, K, les milieux des diagonales AC, BD, El'. Les milieux G, H, K des côtés du

triangle BCE sont les sommets d'un nouveau triangle dont le? côtés passent l'espectivemcnt par L, M, N, et tout revient à démontrer (310) l'égalité

MG LK NH

Or l'exactitude de cette relation résulte de ce que les six longueurs qui composent son premier membre sont respectivement ies moiliiSs des segments que la transversale ADF détermine sur les côtés du triangle BGE.

ni. — Rapport anharmoniqiie de quatre points.

318. On appelle rapport ankarmonique de quatre points A, B, C, D. situés en ligne droite, !e quotientdes rapports des distances de deux quelconques de ces points aux deux autres. Tels sont, par exemple {fig. 10'i ■. Ig; quotients

CA . DA DA , iU

Cli ' un' DC ■ BC'""'

qu'j nous dési^norons rDspectivcmont par (AECD). (ACDlî),

îl importe de se familiariser avec cette notation. En a|3pclant premier imint cgIwî qui répond à !a première lettre à gauclio dans !a parentiièsc, deuj-icme />o/iii celtii qui répond à îa seconde lettre à gauche, etc. , on pic i i lo'.ij mi-s le rapport des distances du troisième point au premier et nu (!ci!^iiiiii\ et on le divisa par ie rapport des distances du quatrième piiiU aiT premier et au deusième.

T.ùi= |ii;iiils A, B, C, élant donnés d'une manière quelconque sur une (ii'oJlt iiKléQnie, on peut déterminer sar cette droite wn quatrième point D Ici, que le rapport anliarmoniquo des qualro points A, B, C, D, cil tmo valoir donn.'s; >. on ^laiiQi'iii' el en signe. Cnr îa roialiou