C.\ , HA - îi-\ J. II

Cil ■ Dii "" '■■ "" Diî^ y'Cii'

dont li? second membre est eniièrcment connu, détermine (303) le point D. Tonlelois, pour que ea point D soit distinct des trois premiers, ii faut que ï n'ait aucune des trois ^Tileurso,'» ou -f- 1. En efTet, si 1 était nul, on aurait, en ïertu de la relation précétiente, DE= o, et D coïnciderait avec B;siX était infini, on aurait DA = o, et D coïnciderait avec A; enlîn, si 1 était

égal à -4- 1, on aurait j^- = -^ , et D coïnciderait avec C. Ainsi, le rnp-

/>ori imharimimqKC de quatre jmnls distincts peut nooir une valeur quelconque, p'r-iltîvi: ou iii'^ulu'r, L-xcepté les valeurs o, co et + i.

Le rapport anharnicnique dy qualro points ABCD n'c^t pas altéré lor.=i"|iri.iu l'cliançe entre cn^; djnx do eos points, pourvu qu'en môme tenip; on échange cn!ro eus 'i.'.- doux aiitros. Ainsi l'on a

AC BG (CDAB) = --:^ =

CA.DIi

ACJJJ) AD.BC'

Avec les quatre mêmes points A, B, C, D; on peut former vingt-quatre rapports an!iarmoniques,dont six seulement sont distincts. Lorsque, dans un théorème, nous parlerons du rapport anliarraunique de quatre points, sans indiquer spécialement l'un de ces rapports, il faudra entendre que le tiiéorÈme s'applique indifféremment à l'un quelconque d'entre eux.

319. On donne le nom dafaisucaii à un système quelconque {J/g. 208) de droites OM, ON, OP, OQ, issues d'un même point 0. Le point 0 est

aiS GÉOIIÉTRIE PL.VKE.

dit le cenire du faisceau, dont les droites OM, ON, OP, OQ, sont appelws les rayons.

THÉORÈME

320. Lorsqu'un fnisrenu de tjUfitrc chvîtes OSJ, ON, OP, OQ, at coupé par tJciiz ti'aiiii'tTsales L el L', le rnppori aiiharmonique des '[luitrr points A, B, C, D, délcnninés sur la pranièie trtinsversuli:, est égid au nippait iiriharmoiiiijue des quatre pnuits A', B', C, D', déterminés sur la secomleiJïg.^8).

Nous allons démontrer, par exemple, l'égalité (ABCD) = (A'ii'G'D'), Les rapports p^ -, ^r^ > ayant le même signe ainsi que les ra]!poi'ti

rr ' îviï'' '' ^^ ^^™ ^^ même pour les qugtionts ou rapports an ha r-

CA DA C'A' D'A' ., , . ., , „* i-,- i raomques nj • 077! r7]7 ^ Q^n ' '^^ '' ''^^''^ ^ démontrer légalité desvE-

ieur= absolues de ces diiiULf \-\\ fori

Or PII menant par le point li la parallèle B-/^ à OA, or tr;ai]--!o3 seiiibljLles CAO et CB7, DAO et DB J, les proportioi

C\ __ OA DA OA CÏÏ~-(li" iili""' Su'

qui, divisées membre à membre, ilonnenL

'ÎB

El) menant par B' la parallfelo ^i'i à OA, on obtiendrait de

LIVEE H!. — LES riGUilES SEalBLABLliS. 2I9

L'égalité inDnifeate lies seconds membres des deax relations qui précèdent prouve l'égalité de leurs premiers membres.

On peut considérer la figura reotiligne A' B' CD' comme la pcispcctioe oa projection cnncotirante de la figure rectiligne ABCD, cette projection étant faite du centre 0 et suivant les rayons projetants OA, OB, OC, OD. De là, cet autre énoncé Fort commode du théorème qui nous occupe ; te nipport anharinoniqiie de quatre pninls en ligne droite est projectif. Si !e centre 0 est à rinfmi, (es rayons OA, OB, OC, OD, sont parallèles, et le tliéorôme subsiste.

Voici de ce théorème fondamental une démonstration un peu riiirérento qui a l'avantage de fournir une expression trigonoméLrique utile de la valeur du rapport anharnioniqiiL'