C A ^ AQ CB

sinAOG siuOCA' sinBOG~

on obtiendra Ue même

OA sinCOA.

" OB sinCOB'

" uli sinRili'

CA . DA smCOA . sinDOA CB ■ bij ~ sinCOiJ ■ sinDuU'

Le rapport anharmonique qui figure dans le premier membre ne dépend donc que des angles du faisceau et nullement de ht position de la trans' versale L; il a donc la même valeur pour la transversale L'.

321 . On nomme rapports anharmo/iiques d 'un faisceau de quatre droites les rapports anharmoniques des quatre points déterminés par ce faisceau sur une transversale quelconque. Ainiii, (ABCD), (ACDB), . . . ( 318) sont des rapports anharmoniques du faisceau forn^ par les droites OM, ON, OP, OQ {fg. 2o8). On désigne ces rapports anharmoniques du feiisceau par la notation (O.ABCD), (O.ACDB)

230 GfiOllÛTIilE PLANE.

Il résulle d'ailleurs du n" 318 que le rapport nnharmoiiique d'un faisceau ne change pas de valeur lorsqu'on échange doux rayons quelconques, pourvu qu'on échange en même temps les deux autres ; de sorte qu'on a, par exemple, (O.ABCD) = (O.CDAB).

Il résulte de la seconde démonstration donnée au numéro précédent que le rapport enharmonique (O.ABCD) du faisceau a pour expression

sinCOA , sinTlOA sInCÔB ' siiïFOB*

Il est évident, d'après cela, que deut faiiceju\ qui ont rcppcium uit les mêmes angles ont les mêmes rapporta anharmoniques Voici deH\ exemples importants de fai'-ceaux de cette nature

i" Si l'on joint un point ijnekoiiquc 0 d'une arconferenci a qttatie points fixes A, B, C, D de cette circo?ifeience, le > apport anbarmomque du, faisceau ainsi obtenu i.\t com/nnt, cjurllaquc mit la posihvi du priinl 0 sur In circonférence. I! résulte, en elfet, des propriétés des angles inscrits que le point 0 se déplaçant, et les points A, B, C, D, restant fixes sur la drconférencB, le faisceau conserve les mêmes ongles. Ce rapport constant est ce qu'on appelle le rapport anhnrinoniqtie des quatre points A, B, C, D, du cercle.

a" Si l'on joint le cciitre d'un cercle aux points où quatre tangentcsfijies sont coupées par une cinquième tangente, le rapport anharino?tiijuc du faisceau ainsi ohtenu est constant, quelle que soit la cinquième tangente. En effet, l'angle sous lequel on voit du centre la portion d'nne tangente mobile comprise entre deux tangentes fixes est évidemment égal à ta moitié de l'angle des deux rayons qui aboutissent aux pointsde contact de ces tangentes fixes. Cet angle esc donc constant, et par suite le faisœau considéré conserve les mêmes angles, quelle que soit la position de la cinquième tangente.

On voit par là que le rapport anharmonique des points suivant lesquels une tangente mobile est coupée par quatre tangentes fixes est constant. Ce rapport est ce qu'on appelle le rapport anharmonique des quatre tan-

Le lapport anharmonique di. quatre tangentes à un cercle est égal au lapport anhnimomque des quatre points de contact; car le faisceau partant du centre du cercle, et aboutissant aux points d'intersection de ces quatre tangentes avec une cinquième, a ses rayons respectivement perpendiculaires à ceux du faisceau partant du point de contact de la cinquième tangente et aboutissant aux points de contact de quatre tangentes conaiileiiee= ( lu 71 )

TUEOliÈiiE.

322. Qaiimi deux Jii ijaatrc droites OA, OB, OC, OD, ce O'A', O'B', O'C, O'D', oui un mp- ITort miharmomque égal et un itiyoït homolngue commun 00', les trois points 6, 7, 5, d'inieiseclion des aulivs rtijoiis hamologiiùs pris tleitx à dciis:, sont en ligne droite t fig. aog).

T[1È0IIÈME.

33i, Qiiiinil deux- figures rcnilignes de i/iuitre points A, B, G, D, et A', B', C, D', ont un rapport tin- Itarmoni'jue égal et un point luimologue commun A , las trois divites BB', CC', DD', qui joignent les autres points homologues pris deux à dvu3:,roncouri:nten un même point 0 'A^.aio).

îEn eiïct, désignons respectivement par «, S , S', les points où la droile fy rencontre 00', OD, O'D'; on aura, d'après l'hypollièse (320),

Donc 0 et u' coïncident (31S), et les trois poinls p, y, 3, sont en ligno droite,

Corollaire.

323. Lorsque deux faisceau-r, de quativ d'-oilcs correspondantes ont un rapport anharmoniqiie égal, les autres rapports anharmoniijues sont égaux de part et d'autre.

En effet, en plaçant les deux faisceaux da façon que deux rayons ho-

ologuessMSDt urUmèmedroite, 1 al lé de 1 un d s rapports anhar-

on [ es ei ge a \ ib les autres rayon 1 omoloB''6 se coupent sur

En effet, soit 0 le point de concours de Bli' et de CC, et désiijnons |iar 3 le point où OD' rencontre la droite ABC; on aura (32 i))

(A'BT,'D') = (ABC-J).

liais on a, par liypotlièse, (A'B'C'D')- (ABCD);