LITRE I, — LK LIGNE DROITE
angles BAEjEAG est le complément de l'aulre. Deux angles qui onl des compléments égaux sont égaux.
Deux angles sont dits supplémentaires lorsque leur somme esl égale à deux angles droits. Deux angles qui ont des suppléments égaux sont égaux.
THÉORÈME
16. Deux angles adjacents ACD, BCD sont supplémentaires si leurs côtés extérieurs AC et CB sont en ligne droite
{fis- "S)-
En effet, si CD est perpendiculaire sur AB, le théorème est évident, puisque les angles adjacents ACD, BCD sont droits tous les deux.
Si CD esl oblique sur AB, les deux angles ACD, BCD sont Inégaux; soit ACD le plus grand. La perpendiculaire CE, élevée au point C sur AB, tombera dans l'intérieur de cet angle et le décomposera en deux autres ACE et ECD. On aura donc
ACD -4- BCD = ACE -i- ECD -i- BCD.
Or l'angle ACE est droit, et la somme ECD -+- BCD est égale à l'angle droit BCE. Donc enfin
ACD -V- BCD = 2 angles droits.
17. Il résulte de ce théorème que, pour avoir le supplément BCD d'un angle ACD, il suffit de prolonger l'un des côtés AC au delà du sommet.
18, Béciproql-ement, si deux angles adjacents ACD, BCD sont supplémentaires, leurs côtés extérieurs AC et BC sont en ligne droite.
Car le prolongement de AC doit former avec CD (17) un
lO GÉOMÉTRIB PLAHE.
angle égal au supplémeni de ACD, c'est-à-dire, îi cause de l'hypothèse, un angle égal à BCD; le prolongement de AC ne diffère donc pas de BC.
COROI-LIIRES.
19. La somme de ions les angles consécutifs AED, DBE, EBF, FBC, que l'on peut former autour du point B d'une droite AC, d'un même côté de cette droite, est égale à deux angles droits [fig. i4); car leur somnae est évidemment la même que celle des deux angles adjacents ABF, FBC.
Fie. '5.
20, La somme de tous tes angles consécutifs AOB, BOG, COD, DOE, EOA, que l'on peut former autour d'un même point 0, est égale à quatre angles droits (fig, i5); car en prolongeant OC, par exemple, suivant OC, on voit que celte somme équivaut à celle des angles C'OA, AOB, BOC, situés d'un côté de CC, plus celle des angles COD, DOE, EOC, situés de l'autre côté; et l'on vient de prouver que chacune de ces deux sommes partielles est égale à deux angles droits.
THÉORÈME
21. Lorsque deux lignes droites AB, DE se coupent, les angles opposés par le sommet sont égaux ( fg. i6 }.
FiB- '6-
FiG- 17»
Soient, par exemple, les deux angles opposés AOE, DOB.
LIVnE I. — l* L[GME DltOITE. 11
Le pcemier AOE a pour supplément l'angle AOD formé par le côlé AO et le prolongement OD ■du côté OE. Le second BOD a aussi pour supplément l'angle AOD, qui peut être considéré comme formé par le côlé OD el le prolongement OA du côté BQ. Les deux anglesAOE.DOB, ayant même supplément AOD, sont égaux entre eux.
ConoLLAïKiEs.
22. Lorsque l'un des quatre angles formés par la rencontre de deux droites indéfinies AB et CD est droit, les trois autres sont aussi droits {fig. i') ]; car, de ce que l'angle AOC, par exemple, est droit, il résulte que son opposé DOB doit l'être, ainsi que chacun de ses suppléments AOD et COB.
On voit par là que :
Lorsqu'une droite AO est perpendiculaire sur une autre droite CD, son prolongement OB est aussi perpendiculaire sur la même droite ;
Si une droite AB est perpendiculaire sur une autre CD, la seconde est à son tour perpendiculaire sur la première,
23. On nomme bissectrice d'un angle la droite qui menée par le sommet divise cet angle en deux parties égales.
Par un raisonnement identique à celai du n" 13, on voit que tout angle AOD {fig. 18} a une bissectrice OF, mais une sente.
Les bissectrices OE, OF de deux angles adjacents et supplémentaires AOC, XOD sont perpendiculaires l'une à l'autre; car la somme des deux angles AOC, AOD étant égale à deux angles droits, celle des angles AOE, AOF, qui sont respectivement moitié des premiers, est égale à un angle droii.
Les bissectricesOF el OF' de deux angles opposés par le sommet AOD et BOC sont dans le prolongement l'une de l'autre Ifig. 18); car chacune d'elles doit être perpendiculaire au point 0 sur la bissectrice OE de l'angle AOC qui est adjacent et supplémeniaire par rapporta chacun des angles considérés AOD el BOC.
Il résulle de là que les bissectrices des quatre angles déterminés par la rencontre de deux droites AU et CD forment deux droites indéfinies EE' et FF', à angle droit l'une sur l'autre.
,Q GtOUËTRIE FLANE.
THÉORÈME
2'f. Par un point 0 pris hors d'une droite AB, on peut lou,jours abaisser une perpendiculaire sur celle droite, et l'on ne peut en abaisser qu'une {Jtg. ig).
Désignons par 0' le point sur lequel vient s'appliquer !o point 0, lorsqu'on plie la figure autour de la droite AB, de manière à en rabattre la partie supérieure sur la partie inférieure. Joignons aux points 0 et 0' un point quelcojig,ue I de la droite AB. Les angles adjacents OIB, O'IB seront égaux; car, si l'on pliait de nouveau la figure autourde AB, 0 venant sur 0' et I restant fixe, le premier angle recouvrirait exactement le second. D'après cela, pour que la droite 01 soit perpendiculaire sur AB, c'est-à-dire pour que l'angle OIB soit droit, il faut et il suffit que la somme des deux angles adjacents égaux OIB, O'IB soit égale à deux angles droits; et, par suite, que leurs côtés extérieurs 10, 10' soient en ligne droite. Donc enfin, comme entre 0 et 0' il existe toujours une droite, et une seule, on voit que du point 0 on peut toujours mener une perpendiculaire sur AB, mais une seule,
ScoifE.
25. Deux points 0 et 0' sont dits symétriques par rapport à une droite AB, lorsque cette droite est perpendiculaire sur ie milieu de 00'; d'après la démonstration ci-dessus, on amène les deux points l'un sur l'autre en pliant le plan de la figure autour de la droite AB.
Deux figures sont dites symétriques par rapport à une droite lorsque leurs points sont deux à deux symétriques par rapport à cette droite.
