II. — DES TRIANGLES

26. On donne 3e nom de polygone à une portion de plan AltCDEF terminée de toutes paris par des lignes droites (Jtg. ao) . Les portions de droites AB, BC, CD, DE, EF, FA sont les côtés du polygone; l'ensemble de ces côtés, forme le contour et leur somme reçoit le nom de périmètre du polygone. Le plan est ainsi divisé en deux régions, l'une enfermée par le contour et qu'on nomme région intérieure, l'autre illimitée et qu'on nomme extérieure. Le polygone a pour sommets les points A, B, C, D, E, F communs à deux côtés consécutifs quelconques, et pour angles les angles ABC, BCD, GDE, DEF, . . . , formés intérieurement par deux côtés consécutifs quelconques. Enfin, toute droite qui, comme AC ou BE, joint deux sommets non consécutifs du polygone est une diagonale.

Le contour du polygone est une ligne brisée fermée et telle que deux côtés quelconques non consécutifs ne se coupent pas; ainsi la ligne brisée ABEDCA, dont les côtés non consécutifs BE et CA se coupent, ne forme pas le contour d'un polygone.

Une ligne brisée est dite convexe lorsqu'elle tombe tout entière d'un même côté de chacune des droites qui la composent, prolongées indéfiniment. Un polygone est dit convexe lorsque son contour est convexe; tel est, par exemple, le polygone ABCDEF (/g. 20). Le polygone ABCDE, au con-

l4 GÉOMÉTHIB PLANE.

traire {Jig. ai), n'est pas convexe; car le côté DE, prolongé indéfiniment, laisse ie polygone en partie au-dessus et en partie au-dessous de lui.

Une droite quelconque, tracée dans le plan d'une ligne brisée connexe, ne peut la rencontrer en plus de deux points} car si une droite XY {fig. ai) rencontrait la ligne brisée AEDC en trois points Q, R. S, les points Q et S se trouvant de pan et d'autre du côté DE, la ligne AEDC ne serait pas tout entière d'un même côté par rapporta DE prolongé, c'esl-à-dire qu'elle ne serait pas convexe.

27. Le plus simple de tous les polygones est le triangle, qui n'a que trois côtés. Après lui viennent ; le quadrilatère, qui a quaire côtés; le pentagone, qui a cinq côtés; Vhexagone, qui a six côtés,..,; V octogone, qui a huit côtés,...; le décagone, qui a dix côtés,...; le pentédécagone, qui a quinze côtés. La fig. 54 représente un hexagone.

Parmi les triangles, on dislingue le triangle isocèle, le triangle équilatéral (i\[ii triangle rectangle.

Un triangle est isocèle quand il a deux côtés égaux ; tel est le triangle ABC ( fig. 23), dans lequel AB est égal à AC. Le troisième côté BC prend spécialemeni le nom de base du triangle isocèle, et le sommet opposé A le nom de sommet du triangle

isocèle.

Un triangle est équilatéral lorsqu'il a ses trois côtés égaux entre eux.

Enfin un triangle est dit rectangle lorsqu'il a un angle droit.

Le côté BG [Jig. 24), opposé à i'angle droit A, reçoit le nom A^liTpoténuse.

On dit que deux iriangles sont égaux lorsqu'on peut les appliquer l'un sur l'autre de manière qu'ils coïncident.

THÈOKÈME.

28. Dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux.

Soit ABC un triangle isocèle; par hypothèse le côté AB esi égal au côté AC, et il faut démontrer que l'angle B est égal à l'angle G [fig. 25).

Considérons un second triangle A'B'C, reproduction exacte du premier, et transportons-le sur ABC en le renversant de manière que A' tombe en A et G' en B, ce qui est possible puisque le côiéA'C, reproduction de AC, doit,en vertu de l'hypothèse, être égala AB. Lesangles Aet A'étant les mêmes, lecôléA'B' prendra la direction AC,et comme A'B', reproduction de AU, est égal à AC, le point B' tombera en G; donc les deux triangles coïncideront; par suite, l'angle C coïncidant avec l'angle B et n'étant que la reproduction de l'angle C, on a B = C.

29. K&ciVROQOESEur, si deux angles d'un triangle sont égaux, les côtés opposés sont égaux et le triangle est isocèle.

Soit ABC un triangle dont les angles B et G sont égaux ; il faut démontrer que AB = AC.

Considérons un second triangle A'B'C', reproduction exacte du premier, et transporlons-le sur AEC, en le renversant, de manière que B' tombe en C et C' en B. Le côté G'B' coïncidera avec son égal BC. L'angle C étant égal à l'angle C et par suite à l'angle B, si l'on fait tomber les deux triangles d'un même

l6 GËOnâTBlE PLANE.

côlé par rapport à BC, le côté C'A' prendra la direction BA, el le point A' tombera quelque part sur la droite indéfinie BA De même, l'angle B' étant égal à l'angle B, et par suite à l'angle C, le côlé B'A' prendra la direction CA, et le point A' tom • bera quelque part sur la droite indéfinie CA. Le point A', devant se trouver à la fois sur les deux droites BA el CA, tombera doncsur leur inierseclion A, el les deux triangles ABC, A' B'C, coïncideront. Puisque le côté A'B'.qui est égal à AB, vient recouvrir exactemenile côlé AC, on en conclut que AB et AC sont égaux.

ScOLIK.

30. Les démonslralions qui précèdent mettent en évidence la propriété propre au triangle isocèle d'èlre siiperposable à lui-même par retournement. Celte propriété est la clef des autres propriétés du triangle isocèle.

Ainsi (fig- 26), dans ce retournement du triangle isocèle

Fig. ï6.

BAC, B venant en C et C en B, le milieu I de BC retombe sur lui-même aussi bien que le sommet A. Par suite, l'angle AlC vient recouvrir son adjacent et supplémentaire AIB, eti'angle GAI son adjacent BAI. Donc, dans tout triangle isocèle BAC, la droite qui joint le sommet K au milieu \ delà hasehC est perpendiculaire sur cette base el divise l'angle au sommet en deux parties égales.

La droite AI satisfait donc aux quatre conditions suivantes ; elle passe par le sommet A, par le milieu I de la base BC, elle est perpendiculaire sur celte base, elle esl bissectrice de l'angle au sommet.

Or, deux de ces quatre condilionssuffisent pour déterminer la droite Ai; car on sait que par deux points on ne peut mener

qu'une droite, qu'un angle n'admet qu'une bissectrice, eique par un point on ne peut mener qu'une perpendiculaire à une droite. Donc toute ligne droite, assujettie à deux des quatre conditions indiquées, remplira nécessairement les deux autres.

31. Tout triangle dont les trois angles sont égaux est équitatéral, et, réciproquement, tout triangle éqttilatéral a ses trois angles égaux.

THÉORÈME