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Donc les deux centres d'homothétie dwïseiit harinoiiiqiuanant lu li^-m: fies centres 00' des deux cercles.

Les tangcnles communes estéiùeures passent par le cenlra d'iiomothétie directe, et les tangentes communes inlédeuros par le cenliv d'iiomothélie inverse. C'est sur cetio propriéLé qu'est fondée la construction du n° 201).

Lorsque les doux cercles sont langenis. leur iunni du coiilai^l es! un centre d'iioiaotliétie, directe si le eoniaci est in!e>ictir, inva-sii si le contact est ej:térieitr.

THÉORÈME

363- Deu.v sjstèmes P' et P", Iwmothétiqaes à un Irmsièma P, sont liomothétlques entre eux {Jig- aaS et aag).

Soieat A un premier point du système P, et A' ot A' ses points homologues dans les systèmes P" et P". Joignons le i>oint A à uu point quelconque M du système P, et joignons A' et A' aux poinis M' et 11° homologues de M dans les systèmes P' et P". Les systèmes P' ot P étant lioiootliétiques, les droites A'M' et AM seront parallèles etdaas uu certain rapport K"; de même, ios droites A''it' et A5i seront parallèles el dans le rapport K' d'Iiomotliétio des systèmes P" et P. Donc les droites A'M' et A'M' sont parallèles, et dans !e rapport constant ^> Donc (360), (es systèmes P' et P" sont homoihé tiques.

Corollaires.

364- Si K" = K\ ka syssùraoi P' et P° ont nn rapport aiiomotliôUo . égal à l'unité; ils sont donc suporpo sables. Il résulte do là que, pour avoir tous les systèmes iiomothétiques h un système donaé, ii u'est pas néoessaire de i'aîre variei' le centre (334) : il sulTit, en cocservant le môme centre, de faire varier K de zéro à l'iaBni.

363. Si P est liomothé tique direct avec chacun des systèmes P' et P", AM et A'iî' sont de raÉme seus, comme AM et A"M', et par suite aussi A'M' ot A" M"; de sovte que P' et P" sont homo thé tiques directs

Oc verra de même que, si P" est homotliétique inverse avec chacun des systèmes P et P', Pet P' sont homothé tiques directs (./%. aao)-

Si P est homotliétique direct avec l'un des systèmes P' et P", et homothétique inverse avec l'antre, P' ot P" sont domotUé tiques inveraes

Parmi les trois sysLomes liomotliétiques ainsi form,6s, il y en a doac toujours un noralire impair (i ou 3) dont l'homothétio est directe. Dans tous les cas, ks irois centres d'homoihétie 3, S', S", sont en

ligne droùa (f/ii. X^8 ^y^::ç)).

En effet, la droite S'S°, considérée comme iippartenant au système P, a pour homologue dans le système P'cette droite elle-même, pnisque (357) elle passe par le centre d'homothétie S" de P et de P'. Cette droite, considérée comme appartenant au système P, est aussi à elie-môme son homologue dans le système P", puisqu'elle passe par S', centre d'homothétie do P et de P°. Donc, cette droite S'S" (357) passe par le centre S d'homotliétie des systèmes P' et P°.