LIVRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES
366- Trois cercles considérés doux à deux ont trois centres d'iiomo- Ibétio dii-ecto cl trois cenlros d'homothétie inverse (362)- Les trois centres d'hOLiioiîiétie directe sont sur an e m6me droite (363), qu'on nomme nxe d'honuithétie directe. Do mSme, deux centres d'iiomolhétie inverse et lo centre direct qui répond au troisième centre inverse sont sur une niStny droite qu'on nomme axe d'IiomothÉtÎB ùwsrse; il y o, d'après colii. trois uïcs d'iiomotliétia inverse.
ÉR\LE LE L\ SlJilLITUDE. — PÔLK DorBLE DE DliUX FmuItËS
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ii-itriirat ipplicnbli, uix eouiljGb Voiei commint i nCnu dibilion
I / 1 ei P Liant donni.% diiiis un pion on
pi/j^oie P a aaoi/ ses cul'i païaUtla mtj. \ (A„ 230) \< \ M >.(, piLSUitei sunant que les deux poijEjones sont
de munie sens ou do sona opposés.
Oq dit que P et P' sont de môme sens lorsque deuï mobiles, astreints à décrire respectivement leurs contours ABCDE, A'B'C'D'E', ensuivant l'ordre al ph ni; clique, marclieni tous les deux dans le sons du mouveraeut des ui^'ulUos d'une montre ou tous les deux dans lo sens opposé.
ri|;. -ÏÀ-i.
Considérons alors deux côtes homologues quelconques CD ot CD' et faisons tourner le polygone P' autour du point C d'un angle a égal â celui des deux côtés eonsidérés; CD' deviendra parallèle t CD, puis, comme les angles C'D'E', CDE sont égaux et que D'E' Lonibe par rap-
2^6 GÈOMÈTlllE PLANE.
port à CD' du mÈme c6té que DE par roppoi-t à CD, lo c.6té D'E' deviendra parallèle à DE, et ainsi de suile.
On dit que P et P' sont de sens opposés lorsque deux mobiles astreints à décrire leurs coalours respectifs ABCDE, A|BiCiD|Ei, eu suivant l'ordre alphabétique, niarclient l'un dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre et l'autre dans !e sens contraire- Dans ce cas, en prenant le symétrique de A|B,CiDiEi autour d'un axe quelconque XY du plan, e'ost-à-dire en raballant ce polygone Ai B| Ci Di E, aotour de cet axe, on obtiendra évidemment un second polygone A'B'C'D'E', qui présentera, relativement au polygone ABCDE, la même disposition que dans lo premier cas. Un rabattement suivi d'une rotation amènera donc alors le polygone AiBiCiDiEi â avoir ses cfltcs parallèles à ceux de ABCDE.
2° On a vu que deux polygones .semblables qui ont les côtés paiHilléles sont Iwmollie'iiques (3GI). Deux polygones semblables peuvent donc^i") être rendus iiomotliétiques ; et réciproquement, la figure homotliétique d'an polygone est un polygone semhiable au premier (358).
Par suile, pour qn"
un polygone P' soit sembi
able à
un autre poly-
gone P, il faut et ii su
fût que ce polygone P' soit
égal à
lun des honio-
thëtiques de P.
Voilà donc i 1
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368. On nomme pâle double de dmix Ji^ures F et F' semblables et de mène sens le point du plan de ces deux figures qui est sou propre hoinoiogue.
Il faut montrer qu'un tel point existe et qu'il est unique.
Rappelons d'aboi'd qu'on appelle homologues deux points 0 et 0' tels, qu'on puisse les rattacher à deux côtés homologues AB et A'B' par deux triangles semblables AOB, A'O'B'; et alors (209), les triangles (|ui rattachent ces mêmes points à tout autre couple do côtés homologues sont par là même semblables. Nous n'avons doue qu'à prendre h. volonté deux côtés homologues AU et A'B' des polygones F et F', el à montrer qu'il existe un point 0, el un seul, tel que les triangles AOB et A'OB' soient semblables, c'est-à-dire que les angles lAO, lA'O soient égaux, ainsi que les angles IBO, IB'O, I désignant l'intersection des
LlVRli III, — LE» HbUBES SEUBLAHLES. 31^7
droites AB, A'B'. Or l'égalile des deux piemieis angles impose seulement au point 0 (Jig- aSoi ) la condition de se trou; er sur la cercle circonscrit au triangle lAA' ; 1 égalité des deux autreb angles indique à son tour, comme autre lieu géométnque du point 0,l6 cercle circonscrit au triangle IBB'. Ces deuï cercles, passant par I, ont un second point commun et tin soûl : c'est le point ciierciié 0.
On donne parfois ù ce point double 0 le nom de ceiUi-e de rouuLon lies deux JlguveK seinbUibles F et F'. C'est qu'en effet il suffit de faire
tourner, d'un angle canvenable, l'une des figures, F' par exemple, aulow du point 0, pour rendre le.i deux figuivs homothétiques, 0 étant hd-inêine le centre d'homothétie. Cela résuite immédiatement de ce que lus triangles OAB et OA'B', OAC et OA'C, ..., étant semblables deux ii deux, les côtés OA et OA', OB et OB', OC et OC, . . . sont proportiouoels, et les angles AOA', BOB', COC, . . . sont égaux comme étant la somme ou la différence d'angles égaux.
Ainsi, ou obtient la seconde figure A'B'C... en joignant le point double 0 aux divers points A, B, C, . . . de la première, puis en faisant tourner les rayons OA, OB, OC, . . . , d'un même angle V autour de O, tandis qu'on augmente ou qu'on diminue les rayons dans un môme rapport K.
D'ailleurs, puisque la rotation V amène toute droite BC de la figure F à être parallèle à son liomologue B'C do la figure F', on voit que deux droites homologues quelconques BC, B'C, des deus figures font entre elles un angle égal à l'angle de rotalion V.
Les triangles AOA', BOB', CGC, . , . , ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels, sont semblables, el l'on peut dire encore
iju'on obtient les divers points A', struisant sur les droites OA, OB, OC, ... semblables AOA', BOB', COC, ....
La construction donnée ci-dessus poui deux figures semblables est, eu général, I
. . de la figure F', en eonde la figure F des triangles
obtenir le point double de i plus simple; mais on peut.
i!iS GÉOMÉTRIE PLiKE.
dans certains cas, mettre à profit la propriété saivanle : Le rapport des disiaiices du point double à deux points homologues quelconques est. égal au rapport de similitude des deux fij^ures. Cette propriété est évidente, puisque les distances en question sont des droites homologues. Il en résulte que le cercle, lieu des points dont le rapport des distances à deux points homologues des deux figures est égal au rapport (le siniiliuide (187), passe par le point double.
Il coiivionL encore de remarquer, en vue des applications, que, lofifuiu ios poinls B et A' se confondent et, par suite, coïncident oyec 1 (/(V. aioi), les cercles lAA.', IBB', dont le second point d'intersection est le point double, doi\'ent être remplacés par le cercle qui, passant par A et I, touche ID', et par la cercle qui, passant par B' et I, louche AI.
Deux cercles sont dcus figures semblables; mais leur point double n'est déterminé que si l'on indique !e point A' du second cercle que l'on veui considérer comme lliomologue d'un point A choisi arbitrairement sur le premier cerch'. Si h' |iuint A' homologue de A n'est pas donné, on ne cunnsil ipiuu seul coujilc de points homologues, celui qui est forme par les ceiilres C <;\. C dos deux cercles; et le point double n'est astreint alors qu'a Être situé sur le cercle, lieu des points dont lo rapport des distances aux contres t" et C est éi^al au rapport des rayons, e'est-à-dire sur le cercle ayant pour diamètre la droite qui joint les centres do similitude des cercles proposés (187, 36-2).
Pour deux droites indéfinies, considérées comme des ligures semblables, le point double n'est déterminé que si l'on donne sur ces droites deux couples A et A', B et B', de points homologues, auquel cas le point double est le second point d'intersection des cercles circonscrits aux triangles lAA', IBB', I désignant le )ioint commun aux deux droites proposées.
