MÉTHODE DES FIGURES SEMBLABLES
309. l'arjni les procédés généraux qui servent à la résolution des liroblèmes, il importe de signaler celui qui consiste à construire une figure semblable <i Li figure cherchée avec des éléments pris parmi les dotmées; on passe ensuite de cette figure ausiliairo à la figure demandée, en comparant deux éléments homologues des deux figures.
Cette méthode, dite par ximilitude, est surtout avantageuse quand, parmi les dojmées, ne se trouve qu'une seule longueur L, les autres données étant dos rapports eu des angles. On fait alors abstraction de la longueur L, ot l'on construit uno figure a présentant les angles et les rapports domiés. À étant le côté do celle figure auxiliaire qui correspond au côte L d.j la figure cberdiée F, il sutQi, pour avoir cette der-
triangle l'est.
ConsCruii-e i le côté
Voici un exemple un peu
■ré, connaissant la dijjiire simple :
Soit proposé de construire im triangle SBC dont on. douiio la Iroi'i /laiiicurs %. S, -f (/%■- 231); f(, t, c ôiaiU le? eèiés <lu (iiaii.L;le iucomm, et UD et AE olaiil les hauteurs S et -i, les iriiingles semljlabks CIÎD. CAE, douiicm
cy.
Oii voit jiai là que ai, d un point pus a voloate, on meiii' a on cerclo trois sécantes i espoctivement égales ans trois hauteuis données a, é, fi les anties segments comptes sui les mâiues sécantes a partir de leur point commun, seiont piopoitionnels aux cotes «, &, e du tiiangle demandé. On construLia donc un tiian^le i. BC a\anl pour côtés ces segments ce triangle ■■eia semblable au triangle cherche ABC et, pour avoir ce (icrnici triau.'! il euffiia de prendre sur la hauteur issue du sommei It unr' lon^ucui BD — S, pul^ de inenei par le pomt B la parallèle AC .1 i. C Dans kl |ue-tions que nousi \enoni. do tiaiter, la position absolue do
230 GfiOHÉTlîIE PLAM;.
la flgure tiemaadée demeure arbitraire ; mais, dans un grand nombre de cas, la figure à construire doit, au contraire, avoir une position déterminée pai- rapport à des points ou à des droites données. C'est alors de l'une de ces conditions de situation qu'il faut faire abstraction, et la méthode s'appliquera enaore si les ûgures satisfaisant à l'ensemble des autres conditions données sont semblables et semblabloment placées. Citons, comme exemple, un problème déju résolu d'une autre façon (263) : PuF uii point V i'iiiié « l'iiité-ieur d'un ait^le XSV, tracer un cercle C tangent aux deu.e côtés di: l'angle. En faisant abstraction de la condition imposée au cercle dL' passer par le point P, on tracera an cercle quelconque 0 insei'il dans langio XSi'. Ce cercle 0 et le cercle demandé G, dont nous désignerons les centres par <a et -(, auront le point S pour centre de siniilitudi;. La droite l'S, par sa rencontre avec le cercle 0, donnera donc l'homolugue Q du point l'; et, comme les rayons tuQ, CP doivent être parallèles (336), on aura le centre y du cercle inconnu, en prenant l'intersection do la droite S" et de la parallèle menée pari' àtoQ.
Soit encore proposé d'iiDcrirc dans un triangle donné ABC un triangle dont les cûtéi soient parallùlas à cuttj: d'un triangle ilonnà de 1 (./%■ 1^31).
Si l'on trace dans le li-iangle ABC une |iLU-;illL'le d'f à d.j\ puis ]jar les points d'etf des parallèles d'c,f'a'. ix du et à cf. on formera un triangle d'f'e'. Il omotlié tique au tiian^lû eliercbé DFE, et le point A sera pour ces triangles un centre de similitude directe (3S6). La droite Ac' coupera donc BC en un point E qui sera l'un des sommets du triangle demandé, et ii ne restera plus qu'à mener par ce point E des parallèles ED et EF, â eii et à ef, et à joindre les points D et F.
370 A p d ph p
parc ë J ë
tivem aie à d AB L Iig
semblable à la figure cherchée, et il suffira de partager le côte AB dans
le rapport iIq dû h da pour avoir le sommet D du triangle demandé. Voici un second exemple de cette méthode indirecte : Inscrire dans un i/uadrilalère donne A&CO un quadi'iiatère u' b'c'd'
semblable à un autre quadrilatère donni/ X'S'C'St' {.//g. 233). La méthode in\ erse sera ici évidemment préférable ù la méthode directe ,
parce que, s'il s'agit de circonscrire une figure :i<.ii;!iU-.i'c .'i ik*u de l'inscrire, les segments capables, décrils sur les cùii-i li.u f. lyj./n^donné, fournissent immédiatement des lieux géométriiiuc:- dfs -■um\iis du polygone à construire.
Renversons donc la question, et pi'oi) osons-no us do circonscrire- u un quadrilalère donné A'IJ'C'D' un quadrilaiére cilicil semblable à uir autre quadrilatère donné ABGD.
Les angles du quaddlali're alu-d élanl doimés, les ïOmmci= n. h. </ appartiennent aux segmeiils capables de cos iiuglcs. fiéorils îur k'; côtés A'It', U'C, A'iyr
Do plus, le quadrilatère id/cd élant semblable au ijunJril.iU-ro AUCD. le triangle «6rf est lui-m6mo semblable au trian^ie Aiilï, oi Ion i-o:inait les angles aùd, adii. Comme ces angles oni pour uif=iHC-î, k- premier la moitié de l'arc B'i', ie second la moitié de l'are A' d', on pourra s D'C et A'D' les points b' et d' ; la droiie Ud' sera t ses seconds pointa d'intersection avec les scg- C et sur A'D' seront les points 1/ et (/. Ayaul iiiiiîi du quadrilatère nbcd, le pi-oblème inverse se
marquer sur I donc détermii ments décrits
trouvera résolu.
FiE- î3î.
Pour revenir au problème direct, on n'aura pkis qu'à diviser les côtés du quadrilalère ABCD dans des rapports égaux ù ceuï dos segments que les points A', B', C, D', déterminent sur les côtés do quadrilalère abcd, et à joindre les points de division.
Le problème proposé a Iniii solutions dans ie cas iiénéral. En effet, en considérant le problème tmerse, on voit d'abord que l'aoiile d peut s'appuyer indifféremment sur ebacnn dcsc6;és du quadrilalère A'B'C'D': ce qui donne quatre suluiions. De plus, cliacune de ces solutions dcr: être double : rar l'angle a s'appuyant sur le uôlé A'B par exemple. k~ angles b ei d pf-iiveiit suppuver reipectivemeni. soit sur les eOiés B t et A'D'. i^W. au Loniraire sur les côtés A'D' fcl DC. Celle do,iMc s^ù-.-
2^2 GËOnfiTRIE PI.AHE.
lion se réduirait à une seule, ai les angles l> et cl otaiont égaux en même temps que les eûtes B'C et A'D'.
371. La méthode par rotation dont nous avons parlé à la fin du livre II (172) prend une extension considérable quand on la combine avec la construclion d'une figure homothétique.
Soit proposé de construire un tnangia ABC semblable à un triangle donné, de telle sorte que l'un des sommets C ait une position donnée et que les deux autres sommets A eJ B soient respectivement sur deux lignes données a et b.
Il est clair que, si l'on fait tourner la ligne a autour du point donné C d'un angle égal à l'angle connu AGB, puis qu'on construise la ligne «' homothétique (3e cette ligne ainsi déplacée en prenant pour contre d'ho-
mothétie le point C et pour rappoi't d'homothétie le rapport connu j^r, le point A de la ligne a viendra en B. On ol>tiendra donc !a position clierchée de ce sommet B en prenant l'intersection des lignes b et a'.
Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de construire un triangle dont les côtés soient proportionnels aux nombres 3, i, 5, de façon que les sommets soient sur trots droites parallèles données^ ou sur trois cercles concentriques donnés. Le triangle est ici rectangle ; on placera à volonté le sommet de l'angle droit sur celle des lignes à laquelle il doit appartenir; puis, on fera touraer l'une des autres lignes autour de ce point d'un angle égal â go", en prenant ^ pour rapport d'homothétie.
La méthode consiste, on le voit, dans l'emploi du point C comme centre de rotation et d'homothétie.
Voici quelques autres exemples simples ;
1° Soit un quadrilatère ABGD. Oa peut considérer  et D, B et C comme deux couples de points homologues de deus figures semblables; 0 désignant le pôle double de ces deus figures, les triangles AOB, DOC seront semblables; par suite, il est aisé de voir qu'il on sera de mSme des triangles AOD, BOC ; donc, si l'on considère A et B, C ot D comme deux couples de points homologues de deux autres figures semblables, le pôle double de ces figures sera aussi le point 0 ; ot l'on verrait de même que ce point est encore le pôle double de deux figures semblables dont A et C, B et D seraient deux couples de points homologues. On conclut de là que dans coût quadrilatère complet, les cercles circonscrits aux triangles qui restent lorsqu'on néglige successivement itn des côtés passent tous par un même point.
2° Considéi-ons un triangle quelconque ABC et en même temps le triangle A'B'C qui a pour sommet les milieux des côtés du premier. Ces deux triangles sont semblables ; deux côtés homologues quelconques forment un angle de i8o° et le rapport de similitude est égal à |. Si 0
