LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLAllLES

désigne le pôle double, comme les angles AOA', BOB', COC doivent être égauï à i8o°, on voit que ce pôle 0 se trouvera sur toute ligne joignant deux points homologues, et qu'il divisera cette ligne dans le rapport de 1 à a. Ce pôle est donc à la rencontre des médianes AA', BB', CC. îlais les points de rencontre des hauteurs dans les deux triangles sont deux points homologues K et K' ; d'ailleurs K' est le centre du cercle circonscrit à ABC ; donc, dans tout triaiigle ABC, le point de concours des hauteurs K, le point de concours des médianes 0, et le centre K' du cercle circonscrit sont situés sur une même ligne droite que le point 0 partage dans le rapport de i à 2.

3° On donne, dans un plan, deux droites L et L', un point A sur la droite L et un point A' sur la droite V. Mener, par un point quelconque P du plan, une droite qui coupe respectivement L et L' en deux points X et X', tels que les segments AX et A'X' aient un rapport donnéifg. a33,).

Considérons A et A', X et X' comme deux couples de points homologues de deux figures semblables F et F'; le point double 0 de ces deux figures s'obtieudra aisément, car il est d'une part sur le cercle circonscrit au triangle AA'I, I étant le point d'intersection des droites L et L'; d'autre part, il est sur le cercle, lieu des points dont ie rapport des distances à A et A' est égal au rapport donné.

Fig, a33,.

L'angle OAA' est donc connu, et, comme il doit être égal à. OSX', c'est-à-dire à OXP, il suffira, pour avoir le point X, de décrire sur OP un segment capable de l'angle OAA'.

Dans le cas particulier où le point A' se confondrait avee I, le cercle circonscrit à AA'I serait remplacé par le cercle passant par A et tangent en I à la droite L'.

Ce problème remonte a Apollonius, qui l'avait surnommé problème de la section de raison.

GËOHËTRIE PLANE.

- Puissance d'un point par rapport à u

372. Nous avons vu(!93)que, si, par un poiutM pris k volonté dans le plan d'un cercle 0, on mène à ce cercle lUie sécante arbitraire MAB, le produit MA. MB des distances de ce point auK deus intersections A et B de !a sécante et de la circonférence est «ne quantité constante, c'est-à-dire indépendante de la direction de la sécante. Ce produit constant MA. MB, qui est évidemment positif lorsque le point M est estérieur au cercle, et négatif lorsque le point M est intérieur, porte, d'après Steiner, ie nom de puissance du point M par rapport au cercle 0 (fig- li!,).

Considérons en particulier celte des sécantes issues du point M qui passe par le centre 0, et désignons par d la distance MO et par r le rayon du cercle. Si le point M [est extéiieur au cercle, les deux segments MA et MB, comptés sur celte sécante, sont de même signe, et, comme leurs valeurs absolues sont d— ;■ et â-\-i\ la puissance du point M a pour expression (d -h r) {d ~- r) ou d'— r^. Si le point M est intérieur, les deux segments M.\ et MB, comptés sur la sécante qui passe au centre, ont respectivement pour valeurs absolues r^-d et r-i-d; mais, comme ils sont de sens opposés, la puissar.ce a pour expression — ir~d}{r-i- d) = — (,;■' — (^-). c'est-à-dire encore d* — /-^. Ainsi, dans tous les cas, la puissance d'un point par rapport à un cercle est égale, en grandeai- et eii signe, à l'ejccès du cai-rê de la dittance de ce point au centre sur le carré du rayon.

Lorsque le point M est extérieur au cercle, sa puissance est égale au carré de la tangente MT menée au cercle par ce point.

Si le point M est intérieur, sa puissance est négative et égale en valeur absolue au carré de la moitié de la corde CMD perpendiculaire à OM, c'est-à-dire de !a corde minimum p'arini celles qui passent

■ LES FTGUBKS

'dl'S. Le lieu des points M d'égale puissance par rapport à deii.f cercles O ei 0' eii une droite perpendiculaire à la ligne des centres 00'.

En elfet, on a MO ~ i-^ — MO' — /■'', '■ et r' étant jes rayons des deux cercles. Le lieu dierclié est, d'après cela, le îieu des points dont la différence des carrés des distances aux centres 0 et 0' est égale à la différence des carrés des rayons. C'est donc (933) une droile pei-pendieulaire k 00', plus voisine du cenlre 0' du plus petit cercle que du contre 0 du plus grand, et dont la distance au milieu de la ligne des centres 00' est égale à !a différence des carrés des rayons divisée par le double de la distance des centres.

D'après Gaultier (de Tours), on donne à cette droite le nom d'axe radical des deux cercles.

Tout point commun à deux cercles, ayant une puissance nulle par rapport à chacun d'eux, appartient à leur ase radicaî. De même, tout point commun à l'axe radical et à l'un des cercles appartient k l'autre cercle, puisque sa puissance doit être nulle par rapport au second cercle comme elle l'est par rapport au premier. Donc : l'o.ce radical de deux cercle.i qui se coupent est la sécante commune; t'axe raiiical de deux cercles qui se touchent est la tangente commune; l'axe radical lie deux cercles qui n'ont aucun point commun est extérieur à chacun

374. En vertu de ce qui a été dit à la fin du n° 372, le lieu des points d'où l'on peut mener à deux cercles des tangentes 'égalas est l'axe radical des deux cercles si les cercles ne se coupent j>as : s'ils so coupent, le lieu n'est que la partie de l'axe radical qui est extérieure ans deux cercles, et alors, la partie intérieure est le lieu des points tels, que les cordes minimum, relatives k ces points, soient égales dans les deux cercles.

375. Si l'ûti désigne par S l'un quelconque des centres de similitude de deux cercles 0 et 0', et par L, P et P' les points où la ligne des centres 00' rencontre respectivement leur axe radical et les polaires de S par rapport aux deux cercles, ou a, en vertu du tliéorème du «"STS, de la théorie delà polaire (341) et de celle des centres de similitude (362),

yGoosle

GÉOMÉTRIE PLANE

Oii détlnit de là

Ol>-i-00'-r-0'P' OP-i-OP'

Z.'rtJ.-e radical de deiue cercles est donc ta ilroiiû é<juklistaute des deux polaires de l 'wi quelcoiujue de leurs centres de simililude, par rapport aux deux cercles.

Ce tliéorèmo est d'ailleurs évident dans la cas où le centre de similitude considéré est extérieur aux deux cercles; car l'axe radical passe alors par les milieux de leurs tangentes communes, tandis que les polairoa sont les cordes de contact coi-rcspondantes.

Il résullo do la mOmi; proposition que l'axe radical d'un cercle 0 ei d'un point 0' est pandtcle lï la pohiirc du point par rapport au cercle et éqiûdistaiit de eu point et de Sa polaire.

THÉOlŒMb:.

373, Las axes radicaux de trois cercles considérés deux à deux concourent on un même poinl {fig. a35 Dt 236).

En effet, soient 0, 0', 0"; les centres des trois cercles ot L, L', L", les axes radicaux des cercles 0' et 0% 0" ot 0, 0 et 0'. En supposant que les trois points 0, 0', 0", ne soient pas en ligne droite, ou voit que L et L' pei-pendiculaires à deux droites qui se coupent, 0'0° et 0°0, se rencontreront en un certain point C, qui sera alors d'égale puissance par rapport aux cercles 0' et 0", et aussi par rapport aux cercles 0"

J.lVnE [11, — l.KS riGLIlES SEJIBL.'.ELUS. 2^7

ai. 0. Ce point C aura doac mûmo puissaDce par rapport am torclcs l.) et 0', et par siiiie il appartiendra â leur ûîo radical L".

Le point C, commun ans trois axes radicaux, prend le nom do ce/itiv radical du système des trois cercles 0, 0', 0°,

Ltirsquc les trois centres sont en ligne droite, !o centre radical est à l'infini ou est indôiermiué suivant que les cercles 0 et 0', 0 cl 0° ont dor- axes i-adicaux parallèles ou coïneidenta.

Ce itiéorf'iiie ppjinot do cousEruire simplcmoiit l'axe radical de doux cordos 0 oi 0' e>:tûni!iir3 ou intérieurs l'un .'t Vautre. Il suffit découper ans deux cordes parmi li'oi:i;èmc cercle f;aelconf|iio 0°- La corde commune au^ cercles 0 ol 0" al la cordo c.:>mnui]tc uun cei'clcs 0' et 0° so couperont au centre l'yilieyj C 'lt:s trois cercles 0, 0'. 0", et il rcslcra à abaisser do ce [nA'.d C uae |ii,>rpoiidiculalre sur la li^'ne 00' (Jig. a'iî 01 1% :

377. D;,; i]i.i'il CNistc d,au3 le plan do trois eereles iiliisiours points disLinels ayaiu iulmiil' pidâsanee par rapport à chacun des trois cercles, on peut allirmer ipie coa pointa sont svir une même droite qui est l'axe radical eommuo ans trois cercles.

On peut fonder sut- celte remarque uno nouvelle cJÉmonstration très

simple (Je la propriété du quadrilatère complet qui fait l'objet du a" 311.

Soit ABCDIÎF [fi^'.-iij) un quadrilatère complet. Considérons l'un

Fie. 337.

des triangles BCE ioimo pai tiots cotes du quadidaioie, soient BP, CR, EQ, les trois hauteurs de ee triangle, et 0 leur point de concours. Les circonférences décrites sur les diagonales BD, AC, EF, comme diamètros^ passent respectivement \)ar les points P, R, Q. Les puissances

(lu point 0 par rapport à ces trois cercles sont donc