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de similiuid II 1 j nli-hi^iiuil";;'/!.'
UaiU; "^ de 3, co il l j I lo iics .w/il .■.tir i
circonférence l le loi v sa coupant radical.
Soient de v co des 0 et 0 (/„ aSSj & un do leurs i
simili l iule, I exo il 1 c nt le m 1 tu o xLcnio. Une sécante SJI, issue de S, co j e les co clés 0 ot 0 e [ atro points M, N, M', N'. Les points M et M sont heiaologues par rapport au eculrc S, car îes rayons corrosi>ondants OM, O'M', sont parallèles ; de ni':mo, N ot N' sont liuniologiies. Les point? ftl et N' sont dif» aiiti-/ioiii,>lo^ma.f, ainsi qno les points N et M' Une eoide quelconque Un du premiei' cercle, et la corde î\'in' du second ceicîe qui joint les poruts auLi-liomoIogues des exlrémilés (lo la premieie, prennent le nom de cordes anti-homologues. Ces déËnitions établies, loici la démonstration du lliéurème énoacé :
LIM!!; 11!. — LES UIGUL;E3 SEllBLiliLCf.,
i" Eli dosignniil jini' ;■ cl /■' !es rayons (les deux ccit jmissauce du pouil S pyr rtipiiorl au cerclo 0, on a
SM.SK-p e. §=:.
i'.'A 'livi-iiii kl p reraiore (igalito |);ii- la seconde, il vient
SiI.SN'=S/i.Sn/;
donc (l'Ji) !sH points H et N', n ol ";' sont sur hûc mùmo circonlërcncs 0".
3° EuQn, la corde Mn étant l'axo radical des cercles 0 et 0°. et la corde N'hj' l'axe radical des cordes 0' et 0°, lo point d'intersection C des dea^ cordes est le centre radical (376) des trois cercles 0, 0', 0", i''esl-à-(!ÎPC nn point de i'oxe radical des cercles 0 et 0'. Cette dernière ]U'ii)ii'iL!c. ]iii:e à sa limite. |ii'()uvo encore que hs tange/Hes en deux ji'jiidf ,1'ili-li'iiii 'l'i'ji'ici de dci'.i: ccrdcf <-o coiipe/i! >■;;?■ l'a.ve reidical.
T11É0RÊ.MJ-.
'.-u'il Qiimid dcu.c cc!-c!cs (Aj c/ i li) son/ iouc/rc! pr/r un Iroi- >/ôms (m), la droila qui joint les poinU de contact a et h pense par un csHtrede similitude I de (A) etde (B), et le pôle t de cette droite par rapport à (tu) est sitité sur l'axe radical L de (A.) et de (B) [^g. aSBiJ.
En effet, puisque (362) a est un centre de similitude de (A) et (m), et iun centre de similitude de (B) et (oi), la droite «i est (366) un axe de similitude des trois cereles (A),(B), (lo); elle passe donc par mi des deux centres de similitude do (A) ct(B). D'autre part, les tans^entes en a ul on i étant (373) les axes radicaux do (A) et (lu) et de (B) et (u), leur point de rencontre t. c'est -à-dire (313) le polo do au par rapport à (wi est lo contre radical i,376j des trois cercles (A), (B), (tu); il appartient donc à l'axe radical L de (A) ot ( B).
Celle proposition a doux rcciproquos.
r Si la droiio ab, qui Joint deux points respectifs a et b des cercles (A) et (B), passe par un centre de similitude I de ces deuj: cor-
aCo GÉOMÉTRIl! PLAMlî,
cles, le cercle (to) qui touche (A) au point a et qui pa.tsa par le point h, touche en ce point la cercle i^), — Eu effet, silo cercle (to) coupait (B) on un second point b^ la droite \b\ couporait los cordes (to) et (A) en doux points distincts n et »], et l'on aurait, en combinant les proiiriôlcs des sécantes (J93) et celles des points anlihomologues
c'est-à-dire Ui^ = la, ce qui est contraire à l'hypothèse.
2" Si la droite ali, qui Joint deux points respectifs a et b des cercles (A) et (B) est telle, que lu point de rencontre t des tangentes en /' et en b à ces deux cercles appartienne à leur axe radical L, h cercle ((o) qui touche (A) cm point a et qui passe par la point ù,
FJg. 23S,.
toucha on ce point le cercle (3 i. — En ei! cercle (fo) en un second point h^, on aurai
a tlroilo ih coupait lu
c'est-ù-dlrc tb — ib,, ce qui ciit contraire à l'hypothèse.
380. Si deux cercles (A) et (B) sont touchés respectivement en a et en b par un cercle (w) et en a' cl en b' par un cercle (u)'), de façon que les contacts en b et en b' soient semblables ou dissemblables sui-
— LES figuhes semblables.
viuil que les contacts en a et en a' xoiit oux-inénes semblables ou dissamblablcf, le point de concours de deux cotés opposé! quelconques du quadrilatère ahcCh' est à la fois un centre de siinilitude des deu-v cercles dont ce-i cûtifs sont dei cordes et lui point de l'axe radical des deux autres cercles {Jîg. 238|).
En eifel, si les contacts en a et on «' sont somblablea, art' passe (366) par !c ceuti'e tle similitude extenie de (<d) et (oj'); mais, alors, les contacts on h et en h' étant aussi somljlaijles par hypothèse, bb' passe ])ài' ce mÊmc centre de similitude; on verrait, par un raisonnement analogue, que, si les contacts en a et en a' sont dissomblablos, les droites ««' et bb' passent toutes deux par le centre do similitude interne de (w) et (oj')- D^is les deux cas, le puiiit da concours J do na' et de bb' est donc un centre de similitude de (to) et (ui'). Les points a et a sont sur ces deux cercles des points anti-homologues, et il en est de même des points b et h'. On a dès lors
]n.ia'
r.Jb.ib\
ot le point .T, ayaiit mémo puissance par rapport à (A) et à (B), appartient à 1 ase radical L de ces deux cercles.
D ailleurs de ce que les contacts en b et en b' sont semblables ou dis^troblables t,n mtmc temps que les contacts en a et en «', il résulte ]ui li'î coatieis eu « et en h sont semblables ou dissemblables en 1 ime kmp jm. le cjniicts t,ii a et en b\ et, par suite, un raisonne-
L ' n , u iMutiknl pi Hi\e que le point do concours I do ab 1 t ' m'iliido do ("A) et (H) cl apparlient à
3SK On dit que plusieurs couples de points («, a'), (b, b'), .. m, m'}, ... situSs sur une même droite L forment une involutio. lorsqu'on peut trouver sur ia droite L un point 0, tel que l'on ait
Oa
^Qb.Ol'^^Oc.Oc'-
La droite L est la base, 0 lo point central, et îa constante K ia puissance de l'involution.
1° Deu.v couples de points {a, a'), (b, h'), déterminent une involution. En effet, si p est un point pris à volonté hors de la droite L, le point central 0 doit avoir la mémo puissance par rapport aux cercles circonscrits aux deux triangles paa', phb'\ il appartient donc h. l'axe radical de ces doux cercles et, par suite, il sera le point où cet axo coupe la droite L. Dos lors, q étant le second point d'intersection des deux cer-
aSa r,i5o,iiliT!iiK pr.AHî;.
des, !o coDJDgQÔ c' tl'an point c do k droits L sors lo sacoûd point
oomman à oetto droits et au eorcle eirconsci'it an triangle ^ 5e.
l.a pei-pendicidairc élaoéa sur la hase L pai' le point ceutrcd 0 est l'axe radical commun dos cercles difcrits sur les segments mi , l>h', ce , œmme diamètres.
a" On ninawa point double d'nno iiivolution tout point u do la base L qui est son propre Iiomologue. Pour qu'un te! point existe, il faut et il siLffit qu'on ait
Ou' = K.
Donc il n'y a pas de points doublas si K est négatif; si K est positif, il y a deux points doubles c ni f sitiios sur la droite h, do part et d'autre, du point central 0 à uno rafirao distance 6galo à v''K.
D'après cola, î'involution pont offrir dons dispositions diffcrontos.
Si K est positif, comme on a (332, 333)
bV = Ô7' = 0<ï.O«'=Oi.06'-Oc.Oc' = ...,
les points doubles c ot/divisent harmonicîuemant chacun des aegmen ts oa', bh', ce', . . .; par suito, le point contrai n'est jamais compris entre deux points conjugués, tels quo a ot «', ot doux qno!cOûi[uos des segmenta aa', bb', ce', ... sont, soit comme aa' ot bb', d'un mâme côté do 0 ot alors compris !'un dans l'autre, soit comme aa' et ce', do part et d'autre ds 0 ot alors extérieurs l'un à l'autre {fg. aSg). Oe et 0/ sont égales à la longueur commune des tangentes menées par 0 aux divers cercles décrits sur aa', bb', oc', . , . eommo diamètres.
Si K est négatif, les produits Oa.Oa', Qb.Ob', Oc. Oc', ... étant négatifs, tout couple de points conjuguas est séparé par lo point central 0 et deux quolconquca dos segmects aa', bb', oc", ... empiètent l'un sur l'autre {f/g. 7.391). Cliaeun dos cercles décrits sur aa', bb', ce', ... eommo diamètres coupe l'ase radical commun aux dons mémos jloiuts P ot P' symétriques par rapport à la base L et situés à une distance OP do cotto base égala ù la racine carrée des produits Oa.Oa-, Ob.Ob', Oc. Oc', .-., c'est-à-dire égale à /— K. Une involationdo ce
LITRE III. — LBS FiDCRES SEMBLABLES. 263
gem-o étant doiiDoe par deux couples (n, «'), (b, b') do points eonjuguéB, o'esL-à-dire par deux segmenta ^ca' et Ol>' ompiétant l'un sur l'autre, les circonférenees décrites sur aa' et dû' comme diamètres donneront lo point P, par auito le point central 0, projection do P sur la IjBse L, et i! suffira de faire pivoter un angle droit autour du sommet P pour avoir sur la base L tous los couples de points conjugués.
i" Pour que trois couples {a a) (S b ) (c c)dopHU en ligne droite fnnnent une mvolatton, il faut et il suffit que quatre de ces points (n'appartonaut pas aus deui mûm s couples) aient leui rapport anharmonique égiû a celui de leurs conjugues.
La eonditiou est nécosaairo ; car, ai, dans lo rapport anliarmoniquc des quatre points «, b, c, c', on remplace fe sogmont ca par sa valeur
0«' Or' Oa'.Oo
ot chacun des autres segments par la valeur analogue, on obtient io rapport anharmoniquo des pointa a\ b\ ô\ c respective mont conjugués des premiers.
La condition est suffisante ; car, si elle est remplie, le rapport anharmoniqae {abcc') est égal k («'ÈVc). Mais, si l'on désigne par n le conjugué de a' dans l'involuliou déterminée par les deux couples {h, h'), (c, c'), le rapport anharmonique (abcc') doit, en vertu do la proposition directe, être aussi égal à (a'I/'t/c), ce qui prouve que îoa points « et n divisent ce' dans lo m&rao rapport et par suite coïncident.
4° Toute transversale L menée dans le plan d'un quadrilatère ABCD rencontre let quatre cûién et les deux diagonales en six points a, a', b, b', c, c' formant taie invohition {fig. a39i).
Car les faisccaas; (AB, ÂC, AD, Ac'), (CD, CÂ, CD, Ce') ont le même rapport anliomioniquo, puisqu'ils coupent la diagonale BD aux mêmes
GÉOBÉTRIli PLANE.
poiûLs. Donc les rapports antiarmoniques dos deux systèmes de quatre pofnls a, c, b, é et b', c, d, c' suivant lesquels la transversale L coupe ces deux faisceaux sont égaux; mais, au rapport (6', c, a\ c'), on peut substituer {a'c'h'c), et t'oa voit ainsi que le rapport anharmonique des points a, c, b, c' est égal au rapport anharmonique do leurs conjugués a', c', b\ c, d'où l'on conclut que («, a'\ {//, b'), (c, c') forment une involution.
5° Quand uit quadrilatère est inscHt dans ait cercle, toute transversale L dtue'e dans son plan rencontre les deu.x couples de côtés opposés et le cercle en six points a, a', b, b', c, c', formant wie involution i/îg. 239,).
Fig.2
En effet, les faiscoaus (AC, AO, Ac, A/), (CB, CD, Ce, C/) ont les mômes angles, [luisque leurs . sommets A et C sont sur la circonférence et que leurs rayons se coupent doux à deus sur celte même ligne ; ils ont donc raômo rapport anharmonique et, par suite, si on les coupe par la transversale L, les deux systèmes de quatre points a, b, e, f et b\ a', e, f qiio l'on obtient ont même rapport anharmonique ; donc, en échangeant, dans le dernier groupe, b' et a', e et/, on voit que le rapport anharmonique des points a, b, e, /est égal à celui de leurs conjugués a', b',J, C] par suite, les couples (a, a.'), {b, b'), (e,/) forment une mvoiution. — Ce théorème est dû à Desarguea.
Tels sont les premiers principes de cette belle théorie de l'involution, dont on trouvera i'enticr développe mont dans notre seconde Partie.
- LES FIGUHES SKMBLiUI E!
382. On dit que plasieurs cercles A, B, C, . . . forment wi jaùceau lorsqu'ils ont leurs centres sur une môinô droite L et que les points a et a', b et b', c et c', ... suivant lesquels ils coupent cette droite forment une involutJon.
La base L, le point central 0 et la puissance K de l'involution reçoivent les noms de hase, point central et puissance du faisceau.
Le faisceau est dit du premier ou du second genre suivant que l'involution correspondante a des points doubles ou en est dcpourTuc, c'est-à-dire suivant que K est positif ou négatif.
1° Il résulte de la théorie de l'involution qu'iui faisceau de cercles est déterminé par deux quelconques d'entre eux, et que tous les cercles d'un faisceau, pris deux à deux, ont le même axe radical. La réciproque de cette dernière proposition est vraio ; si, plusieurs cercles A, B, C, . . . , pris deux à deux, ont un même axe radical R, ib forment un faisceau, dont la basa L est perpendiculaire à R ; car les contres sont évidemment distribués sur une même perpendiculaire L à l'axe radical R, et le point 0 commun à R et à L ayant mémo puissance par rapport à chacun des cercles, on a, en désignant par a et a', b et h', c et c', ... îos points où ces cercles coupent la droite L,
2" Les points doubles e et /de l'involution relative à un faisceau de cercles du premier genre prennent le nom de points limites du faisceau ; voici pourquoi : puisque e et / divisent harmoniquement chacun des diamètres aa', bh\ ce', ... les milieus de ces diamètres, c'est-à-dire les centres des cercles A, B, C, ... sont tous en dehors du segment ef; les deux parties indéfinies de la base L qui sont l'une à gauche do e, l'autre à droite de /, sont les seules régions dans lesquelles puisse se trouver le centre d'ufi oorcle quelconque du faisceau; d'ailleurs, tout point (0 de ces régions est effectivement le centre d'un cercle du faisceau; c'est le cercle û qui a pour rayon la tangente ùj( menée par to au cercle décrit sure/ comme diamètre. Le rayon Qt du cercle e/, étant en effet perpendiculaire à oi (, est tangent au cercle û et, si a et a' sont les points où ce cercle coupe L, on a
ce qui prouve que le cercle tl fait partie du faisceau. Le rayon do cercle Ci diminue à mesure que son centre w se rapproche do l'un des points e et/, et par suite ces points limites peuvent ôtre considérés comme deux cordes évanouissants faisant partie du faisceau.
GÉO^gËIBIE PLAKl!.
Dafls Tin faisceau du Sficood goure, tous ics corclos passent par les deux yioiuls P elP'(38i) do l'axo radical li; on a donne ù ces poiiils !e nom de points fondamentaux. Ici, tont point ui do la base peut 6tro le coiilro d'an corele du faiscoiu ec&t lo coicio a dociit du u comme centre a^BC lul' pour lajon
3" On dit que deux faisceaux do ecrcloa sont co/iju^uài lorsque, le point central étant le momo, los bi.&os sont lOCtangulaiiOB et los puissaBCOS ogaïôs ot do signes eontrairos
Il est clair qa'alurs let points fomlameitlaux de l un des faisceaux coïncident avec les points limiter de l'aune et que, lociproquement si cette coïncidence a lieu, loa deui. faisceaux sont conju,^né3
4° Ou peut donner d 1 expression de la puissance d un point P par rapport ù un cercle (A) une ferme élégante et souvent commoda en faisauL intervenir un coiele auxiliaue (Cl astieint oculcment \ pass'i par lo point P (Jîg. aSg,)
En désignant par I lo milieu do la li,^ie dos contres M , et p ii /> I i projection du point P sur celte ligne, on a (23i)
