PA
PC ^^ACAp.
i\lFli,
est le rayon du cercle (A) et m lo pied do l'aso radical L xles (A) et (G), on a (373)
dos de
;■!— i^' = 2AC.l(u.
En rcLfimchant cotlo relation do la précédente, on obtient l'égalité
PA
■iAC.t
cpii monire que ia puissance d'un point P par rapport à un cercle (A) est êj^alo au double de la distance du centre (A) au centre (C) d'tui cercle quelconque passant par P, multipliée par la dislance du point P à î'aœe radical dos deux cercles.
LIYRE m, — LES FIGURES SEaBLABUES. 267
Il résulte îloîùque, «'(A), (B), (C), naai trois cercles d' un même faisceau, les puissances d'un point quelconque P du cerolo (C) par vapporl aux cercles (A) et (8) sont entre elles comme les produits AG.P5, BC.Pç, 01} comme les distances du centre du cercle (C) aux centres das cercles (A) et (B). Par suite, le Heu du point P dont les puissonce.t par rapport à deu:c cerclas fixes (A) et (B) ont un rapport donné est un cercle du faisceau déterminé par (A) et (B) ; et c'est, parmi les cercles de ce faisceau, celai dont le centre C divise AB dans le rapport donné.
nBIlCI.ES OKTIIOGONArX.
'Mi. i" Pour qu'un cercle (0) de rq/on r soit coupe' orlhogo/ialement par un autre cercle (0'), il faut et il suffit que, de son centre, on puisuc mener au cercle (0') une tangente égale à r.
Laeonditionost nécessBiro; car, M ddsignant un des poiaCs communs aux dens cercles dont les deux contres sont 0 et 0', la tangente on M au cercle (0') et le rayea OM so confondent comme étant perpendiculaires au môme point M à la tangente au cercle (0).
Lacondition est suffisante; car, soit OM la tangente menée du point 0 au cercle (0'); puisque OM est égale h r, le point M appartient aussi ou cercle (0); d'ailleurs, la tangente en ce point au cercle (0) est perpendiculaire au rayon OM, c'est-à-diro à la tangente au cercle (C),
On peut encore énoncer h théorème de k manière suivante :
Pour qu'un cercle de rayon r soit coupé ortlwgoiialement par un autre cercle, il faut et il suffit que la puissance da son centre par rapport à cet autre cercle soit égale à r^.
a" Il résulte de là : 1° que le lieu des centres des cercles qui sont coupés orlhogonalament pw deux cercles donnés A e/ B est le lieu des points d'oii l'on peut mener aux cercles A eï B des tangentes égales ; %" que si un cercle 0 est coupé orthogonalement par deux cercles A et B, il est coupé orthogonalement par tout cercle du faisceau déterminé, par ketS; car, le cercle i) ayant sou contro sur l'ase radical de A et do B, et cet ase étant cemman h. tous les cercles du faisceau, le centre on question aura, par rappprt à tout cercle du faisceau, la mûmo pnlssanco, laquelle est égale au carré du rayon du corcls 0, puisque co CBrde est coupé ortliogonalement par A et B. Pour plus do brîèTeté, nous dirons, d'un cercle qui est coupé orthogonalement par tous 1cm cercles d'un faisceau, qu'il est orthogonal au faisceau.
3° Tom les cercles Aj, Ei, C,, ... orthogonaux à un faisceau F di: cercles A, B, C, ... forment le faisceau conjugué du premier.
En effet, le centre du cercle A ayant, par rapport à chaeun des cordes orthogonaus, uae môme puissanco égale au carré de son rayon, appartieat à l'ase radical do deux quelconques de ces cercles orthogonaus.
a68 GÈOBÈTBlIt PtAHE.
Comme il en est de môme des contres des cercles lî, C, .... on voit quo ios cercles ortliogonauï Ai, Bi, Ci, ... ont pour axo radical commun Ri la base L du taiscoau F. Ces cercles orthogonauK forment donc un faisceau F,. Co faisceau Fi a pour base Li l'axe radical 11 du faisceau F, puisque cet axe radical contient, comme dous l'avons vu, les centres do tous les cercles Ai, Bi, Ci, .... Los deux faisceaux F et Fi, étant tels que ia base de l'ua soit l'axe radical do l'autre et vice -versa, ont donc leurs bases rectangulaires et le mûme point central 0, qui estrintorscction de Lj et de Ri aussi bien que de L et de R ; dès lors, il reste seulement à prouver que les puissances ^i et ni des deux faisceaux sont égales et de signe contraire. Or, si F est du premier genre, on a
t et/étant les deux points limites; mais le cercle (c/ , e'esL-à-dire le cercio décrit sur cf comme diamètre, coupe orLhogonalement tout cercle ù du faisceau F, puisque (382) du centre m du cercle Q, on peut mener au cercle (e/) une tangente égale au rayon de £ï. Donc le cercîe (ef) fait partie du faisceau Fi, et la puissance f^i do ce faisceau, c'està-dire la puissance du point contra! (u par rapport à (ef), est égale à
Oc.O/ = — (H-V-,i.
Si F osl du secoud genre, on a
P et P' étant iea points fondamentaux; mais le cercle (PP'), c'est-à-dire le cercla décrit sur PP' comme diamètre, fait partie dn faisceau F; il est donc coupé orthogonalomont par tout cercle do faisceau F, et, par s inte, le carré OP do son rayon est égal à la puissance de son centre 0 par rapport à tout cercle du faisceau Fj, e'est-à-dire à la puissance [>.' de ce dernier faisceau ; on a donc
4° Soient 0, 0', 0" trois cercles n'ayant pas lo môme axe radical. Si leur centre radical a est.intérieur i, l'un d'eux, il l'est aussi aux deux autres, et s'il est extérieur à l'un d'eux, il l'est aux deux autres. Dans le premier cas, il n'existe aucun point d'où l'on puisse mener aux trois cercles des tangentes Égales oL, par suite, aucun cercle ne saurait couper ces trois cercles ortliogonalemenl. Dans le second cas, le centre radical (! est le seul point d'où l'on puisse mener à ces trois cercles des tan-
LIVIŒ lli. — LES FIGURKS SEMBLABLES. 269
gODtos égales; le cercle ayant c pour cectre et pour rayon la longueur communô des tangentes égales, est orthogonal aux trois cercles 0, O' et 0", et c'est le seul cercle qui jouisse de eottû propriété,
5" On dit qu'un cercle (0 ) est coupé diamétralemoat par un cercle (0') lorsque !a corde commune à (0) et (0') est un diamètre du cercle (0).
On démontrera sans peine que, pour ç2i'«« cercle (0) de rayon rsoit coupé diamétralement poj- un cercle (0'), il faut et il suffit que la puissance de son centre par rapport au cercle (C) soit égale à — r^; il suit do là que si les deux cercles A et B n'ont aucun point commua, auquel cas leur axe radical leur est extérieur, il n'y a aucun cercle qui puisse être coupé diamétralement par chacun dos cercles A et B ; tandis que si A et B se coupent, leur corde commune, c'est-à-diro la partie de ieur axe radical qui est intérieure aux deux cercle?, est Is lieu du contre des cercles qui sont coupés diamétralement par A et B.
Lorsque le centre radical c de trois cercles 0, 0', 0" est ultérieur au:c trois cercles, il e3:iste un cercle et un seul qui soit coupé diamétra' leniant pof chacun des troLv cercles 0, 0', 0°. C'est le cercle qui a pour centre le centre radical c et pour rayon la moitié de la longueur commune des cordes minimum que l'on peut mener par ce point dans les trois corelos (37i).
VL — Inversion-
38i. Étant donné, dans un plan, un système quelconque de points A, B, C, . . . , isolés ou formant des lignes continues, si, sur les rayons vecteurs SA, SB, se,..., issus d'un points choisi arbitrairement dans le plan, on prend, à partir de ce point S, des segments SA', SB', SC, . . . , tels que
SA.SA'=:SB.SB'=SC.SC' = ... = jj.,
(i étant une quantité constante positive ou négative, on dit que le système A'B'C. . . est inoerse du système ABC-..- Le point fixe S prend le nom d'origine, et la constante [i le nom de puissance. Si cette puissance est positive, les rayons vecteurs correspondants SA et SA' sont de même sens, et les points correspondants A et A' sont situés d'un mâme côté par rapport à l'origine S; si [i est négatif, les rayons vecteurs SA et SA' sont de sens contraires, et les points correspondants A et A' sont situés de part et d'autre de l'origine S.
THÉORÈME
38S- Deux/giires F' et F", inverses d'une même figure ¥ par rapport
à une mémo origine ^ et à deux valeurs différentes \).' et ^" de la cou-
afiOUËTIlili PLAnE.
.'•laniii [1, soiu hamothitiquer, { leur centre de dmilhuda e.n te point S ei
leur rapport de similitude est égal à^j •
En eiTot, si l'on dôsigno par M un point quelconque dô la flguro prlmitive F, ot par M' ot M" les points correspondants dos'figures F' et F", poidta qui sonl d' ailleurs situés sur la droite indéfinie SM, un a
THÉORÈME
380. M et N êlfinl deux points qucleoiKjiics d'une figure et M', N', les points con'cspoiidaiils d'une figure iiwcrse par rapport à une angii'c S et h une puissance jj., la distance M'N' s'obtient en multipliant la distance ÛIN par le rapport de la puissance p, au produit SM . SN des deii.t: rayons vcr.tcurs de In figure primilit'e.
En cirot, la icialion {fig. 240)
SM.SM'= SN.SK'= i>.
iii'onvG f[n(i les droites MN, WH' sont iinti parallèles par rapport ri l'ii/igli-
MSN, el par suite que les triangles SMN, SM'N', sont 8cmbla!)ie&. On a
H3i! - ^ - —l^ MN SM~SM.SN'
' "âM.SN '^■
387. L'angle de deu,t: lignes quelconques qui se coupent i l'angle des deux lignes ii
Livaiî III. — LES FiGURES SlîilBLAIlLES. i^y
Considérons d'abord {fig. a^o) unosoulo ligne quelconque JfN ot soi) invoi'BO M'N' ; il est aisé de veir quo les angles TMM', TM'M, que icuin laagentos MT, M'T, font avec le rayon vecteur SMRl', sont égaux; car, si l'on considère on rayon veclour voisin SNN', les cordes MN ot M' N' sont, comme nous l'avons déjà tait observer, aatiparallèles par rapport à l'angle MSN; donc les angles SM'N', SKM, sont égaiu; or, k la limite, le premier devient l'angle SM'T, ot l'autre, l'angle SMTi, opposé par le sommet à l'angle TiHM'; donc, M M'T = TMM'. Pour éviter toute ambiguïté dans la manière de compter les angles, on peut remorquer que les deus tangentes correapondanlea forment loE deux côtés d'un triangle isocHe TMM', dont la base est la partie MM' du rayon vecteur compriso entre les deux points de contact.
Soient ae tu allement {fig- 241) douKceïirbosMiî et MA qui se coupeiit en M, ot les courbes inverses M'œ' ot M'i'; il faut prouver que l'angle des deus premières, c'est-à-dire l'angle ^MT de leurs tangentes, est égal à l'angle îM'T des deux autres. Or, on a, d'après l'alinéa précédent,
îMM'=(M'M, T-\ÎM'=^TM'M,
d'où, en retraiicliani,
(MM' — TMM' ou iMT^r-ïM'SÎ-TM'M ou (M'T.
Cette propriété de conserver les angles dont jouit ce modo de transformation des figures est très importante : elle entraîne la similitude des triangles infiniment petits correspondants, do sorte quo deus Figures inverses l'une de l'autre sont deus figures semblables dont le rapport de similitude iiarie d'un lieu à un antre.
Les trois théorèmes précédents sont généraux, c'esl-ù-diro relatifs à des figures quelconques ; les trois suivants sont particuliers et relatifs à la droite et an cercle.
388. La figure iiwersc d'une ligne droite est une circonférence passant par l'origine.
Nous laissons de eùtâ le cas où ta droite donnée passe par l'origine. Dans cette hypothèse, cette droite eî!e-mi>me est évidemment son inverse.
Considérons donc une droite AB ne passant pas par l'origino S (fig. 243, 243). Menons du points surAB deus droites, l'une SI' perpendiculaire, l'autre SM oblique à ÂB, et prenons respectivement sur ces lignes les inverses P' et M' des points P et M. I.e9 droites MF et M'P' étant antiparallèles (380), l'angle SM'P' doit être droit comme l'angle SPM. Lo
SP' comme t!iapassant par
aj2 GÉOMÈTRIi! l'LANIi.
iiea du poiut M' est donc la circonfé renée décrite si mètre.
R6ciproquemoBt, la f^ure im>crse d'une circonfé. l'origine esc une droite perpendiculaire au diamètre qui abuam .i . 1.1 .-
En effet, soient (Jg. s^s, a43) P l'inverse do l'ostrémité P' du diainôtro SP' et M l'inverse d'un point quelconque M' de la circonféreneo. Les droites MP et MT' étant anliparallèles, l'angle SPM doit être droit
Vis- 242.
élevée par P sur SP
égal SM'P'. Lo lieu du poinl H est donc la porpeiidiculaii' P sur SP'.
389. Les distances SP et SO de l'ongino à la droite et au centre du cercle sont liées par îa formule
où |x osL la [juissanoe donnée. Celte rolalio 1 a lieu fu ^i indeui cl lu signe.
On voit par là qu'une droite AB et un ceicle 0 utuei, d une manie e tjuelconque dans an plan {Jtg. 24^, %^^) peuvent tnujoia -i élre comuterés comme desfigui-e.i invei-scs l'une de l'autre. Il suffit de choisii pour origine S l'une dos extrémités du diamôtre perpendiculaire à la dtoite, c'est-à-dire (401) l'un des centres de similitude du système formé pir la droite et lo cercle, et pour puissance ji. la valeur en Ë;randeur et en signe du double produit des distances di 1 ongmi 1 la dioHo i.t u centre du coiele.
THÉORÈME
J90. Lajlgure inverse d'tme ci rieurû ou extérieure à la courbe.
.nfirc.
c, lorsque l'o.
LTVRE III. — LES PIGURES SEMBLABLES. Iji
Soient s et [I l'origine et la puissance données, etp la puïSBanee de l'origine S par rapport au cercle proposé 0 {Jig- 244)-
La figure inverse du cercle 0 par rapport à l'origine S et à la puissancep est cvidemment le cercle 0 liii-mÊme; car, puisque l'on a
