SM.SN

tout point M de ce cercle a pour inverse le point N où Je rayon vecteur correspondant rencontre le cercle une seconde fois.

Par suite (38S), la figure inverse du cercle 0 par rapport à l'origine S et à la puissance ^i est encore im cercle, puisque cette figure doit être homothétique h la précédente ou au cercle 0 lui-même, S étant le centre

de similitude et - le rapport de similitude.

SCOLIES

301. 0 et R étant le contre et le rayon da cercle donné, 0' ot R' le contre et le rayon de son inverse, on aura donc

Le signe + se rapporte au cas où, n et /> étant de même signe, l'iiomoliétie est directe, et le signe — au cas où, |i et/i étant de signes opposés, l'homotliétie est inverse.

D'ailleurs, sip' est la puissance de l'origine S p 0', on a, d'après les relations ci-dessus,

lit, par ces formules, que deux cercles 0 et 0',

BE C. - Tr. ds Qéom. (1" P.,btii:).

274 GÉOMÉTBIIÎ PUKB.

a dans icn plan, peaimiil toujours être reganlik comme •1 de l'autre. Il suffit do prendre pour origino S l'un quelconque des deux contres do similitude et, pour puissance, la moyenne géométrique outre les puissances p et p' du peint S par rapport aux deux cereiea, en donnant à cotte moyenne lo signe de p on le signe opposé, suivant que S est un centre de similitude externe ou interne.

On aurait [)u dôduiro tous ces résultats dun°378. Los)ioiiits invcrsos l'un do l'autre no sont autres que ceux que noua avons appelés antihomologues. On peut donc dire que les tangentes aux points correspondants de deux cercles inverses se coupent sur l'axe radical des dcii^ cercles.

392. Les centres 0 et 0' do. doux cercles inversos ne sont pas des points correspondants. Il y a donc liou do se demandeV quels sont les inverses de ces centres.

Désignone 0%'. ai4) par V l'inverso du centre 0 et par A, B, A', B', les nointsjJÙ kiigno des centres SOO' rencontre les doux cercles. Nous aurons

SO.Sr =--11, d'oii ,

r S0 7J.S0'S0'SA'-^SB' SF^'w ~~i^- ~p'~ ~ 'iSM .SB'' '

Si' SA' SB'

Le point r est donc (332) îo conjugué liarmonique de S par rapport au diamètre du cercle 0'. Ainsi, l'inoerse du centre de l'un quelconque des deux cercles est la pied de la polaire de l'origine par rapport h l'autre cercle (340, 341).

On voit par lu que, pour que deux cercles niant pour inverses deux cercles concentriques, il faut et il siffftt que l'origine ail même polaire par rapport à ces deux cercles.

Par suite, tout faisceau de cercles du premier genre peut, par inversion, être tran.tformé eu un système de cercles concentriques ; il suffit de prendre pour centre d'invoraion l'un dos /wnls limites e ou /(382), puisque, e et/étant conjugués harmoniques par rapport à cliacun des diamètres tia', bb\ ce', la polaire du point e est la même par rapport à tous los cordes du faisceau.

ToiU faisceau de cercles du second genre peut, au contraire, éire transformé par inversion en un faisceau de droites; îi suffit évidemment (382) do choisir pour contre d'inversion l'un des points fondamentaux P ou P'.