LIVRE Ui, — LUS l'IGURlîS SKMDLABLES

TîlÉORiîMIÏ.

393. Les cercle) inverses (A') cl {ut") de deux cercles tangents (A) cl (u>) sont aussi tangents, pidsque Pinoersion conserve les angles; d'ailleurs, les contacts entre (A'j et {<o')el entre {k) e(((o) sont semblables ou dissemblables, suivant que les piùsscuiccs da centre d'inversion S par rapport aux deux cercles primitifs (A) et (uj) ont le même signe ou des signes opposés {fig. a4,i,)-

Pour ie prouver, prenons la constante d'inveision égale à la puissance de S pav rapport à (A); co eerc!ô so transformera alots en luim6me (390). Désignons par p et par m la puissance du point S par rapport à (A) et par rapport â (ui), par A, to «)', les f entres des cercles (A), (lu), (u)'); enfin, par a et a' les pointa on (A) o-t luucht respectivement par (lo) et par (<o').

Le centre S d'inversion étant à la fois sur la ligne des centres oj sur la droite aa' qui joint deux points correspondants, le triangle . coupé par la transversale S««' donne

Mais, puisque l'on prend p pour constante d'

Donc, suivant que p et w auront le même signe ou des signes opposés, les deux premiers rapports de la relation (i) seront do même signe

2''â GÉOflfiTKir l'L.lISU.

ou de signes contraires. D'ailleiire, te .contact en a est inienie ou cxterae, suivant que le rapport — r est positif on négatif; de miïme, le contact en a' est interne ou externe, suivant que le rapport -7^, est positif ou négatif. Donc, les contacts cm a et on a! seront semblables ou dissemblables, suivant que jO et cr seront de même signe ou de aigncs contraires.

TIIÉOBÈMIÎ-

39i, SI l'on considère deux cercles quelconques et leurs inverses, en désignant par d, r, r', la distance des centres et les rayons des deux premiers cercles, et par S, p, p', les éMmcnts analogues pour les deux autres cercles, on a

rr p?

n faut prendre le signe -f- ou le signe — suivant que les puissances de l'origine par rapport aux deux cercles primitifs sont do même signe ou de signes opposés.

En effet, soient S l'origine, 0 et 0' les contres des premiers cercles, <i) el tu' les contres des cercles inverses, A et a les projections de 0 et do w sur la droite SO'to' {fg. a45). Désignons par y. la constante d'inversion, et par p, p', w, ro', les puissances de l'origine S par rapport aux cercles 0, 0', tu, ui'.

I,e ti-ifingle SOO' demie

f;3 = "sôVsO'^— aSA.SO', eu (372)

LIVLlIi III. — T.IÎS FIGURES

D'ailleurs (390, 3Î!I),

Su' 1^ ^ = ^ = !^ SO' ~ p' SA ~ SO ^ ])' Par suile,

o'est-M-diri

Or cette rolation ne diiTcrD pas de {i)> puisqu'on a (391)

le signe + convenant au ers où j7 et p' sent de même signe, et le signe — au cas où p et p' sont de signes contraires.

ScOLlËS.

a93. Supposons qu'on prenne pour origine un point dont les puissances par rapport aux deux cercles primitifs soient de même signe, c'est-à-dire un point qui soit à la fois extérieur ou intériour aux deux cercles. Alors, îe signe -h conviendra seul, et, si l'on augmente ou si l'on diminue de a les deux membres do la relation (i), on aura

d^-^r-ry ^S^-(p-p')i ^^ rfa(^ + i-n' ^6»-(p + p')' rr' pp' it' pp'

L'expression tP — (;■ — r'y^ représente le carré çle la longueur de la tangente commune extérienre aux deux cercles 0 et 0'. Il est vrai que cette tangente commune n'existe plus lorsque ces deux cercles sont intérieurs; mais il est toujours permis, pour la commodité du langage, d'appeler longueur de la langcitte cnmmiuie extérieure la racine carrée delà valeur absolue de â>--{r-—r^y-. Si l'on appelle de même fo'i^^fiew'' de la tangente commuiia intérieure la racine carrée de la valeur absolue de ifi— (r H- r'y, on pourra énoncer le théorème suivant :

Si l'on considère deux cercles quelconques et leurs inverses, le rapport de la tangente commune à la moyenne géométrique des rayons est le mène pour les detu: couples.

II eat sous-enlondu d'ailleurs que l'prigino est à la fois intérieure on oxtéricure aux doux cercles primitifs, et que l'on doit prendre alors des tangentes coromunos de même espèce dans l'un et l'aiitro couple.

On verrait do même que, si l'origiuo est intériouro à l'un des cercles primitifs oî cxtérîôuro È l'autro, le théorème subsiste, à la condition de prendre des tangentes communes d'espèces différentes dans l'un c! l'autre couple.

SiÉTUODE Dli TRANSfOnMATION l'.lil UAVONS VUCTEI'IIS RliCIPHOOUES.

396. La figure inverse d'une figure donn6e prend aussi le nom de transformée par- rayons vecteurs réciproques. Ce modo do transformation est un des moyens d'investigation les plus puissants dans l'état actuel do la Gréométrio. En construisant la figure inverse do colle qui répond à un théorème connu, on obtient des propositions nouvelles qui sont pîus ou moins intéressantes, suivant lo choix que l'on a l'ait de l'orij^ine, et la nature de la figure primilivo.

Voici quelques exemples :

i" Dans tout triangle roctiligne, la somme dos angles est égaie i doux angles droits, En formant la figure inverso (388), on obtient un triangle formé par trois arcs de cercle qui se eouponl tous à l'origine ; et, comme la transformation n'altère pas les angles, on a ce théorème : La somme des (Utgles d'un. Iriangle curviligne, dont les côtés sont dès arcr de cercla qui se croiteut en un même point, est égide à deux angles droite. On aurait un théorème anaiogac eu transformant la proposition relative ù la somme des angles d'un polygone.

a° 11 est évident que si, dans un angle fixe, on inscrit deux cercles tangents entre eux, le lieu do leur point do contact est la hissectrice de i'Euigle. Donc, en formant la figuro inverso, si, dans l'etpace comprit entre deux cercles qui se coupent, on intcrit deiuc circonférences tangentes entre elles, le Heu de leur point de contact esi une autre circon-

397. Au lieu de ehorchor des propositions nouvelles en partant d'un Ihéorômo dont îa démonstration est connue, commo nous l'avons l'ait dans les doux exemples précédents, on peut avoir àdémontrer directement un théorftmo énoncé. On construit alors la figure inverse de celle qui répond au théorème proposé, en choisissant l'origine de façon que la nouvelle figure soit plus simplo que la première, et que la propriété correspondante soit, sinon intuitive, au moins plus facdo à prouver.

C'est ainsi que tout théorème ou tout problème sur un faisceau de cercles pont 6tro ramené au cas beaucoup plus simple où le faisceau est composé soit do droites, suit do cercles concentriques (392). Par

LIVUË lil. — LES FldUllES SliMBLABLES. 273

eseiaple, ce procédé permettra de démontrer fort aisément la proposition suivante :

Lorsqu'un cercle variable touche toujours de la même manière deuj: cercles doimés, il coupe sous un angle constant tout cercle du faisceau déterminé par les deux cercles fixes.

Quand, dans une question, on a à considérer plusieurs cercles, ilf a parfois avantage à choisir le centre d'inversion de façon que les transformés de deux de ces cercles soient égaux entre eux. La chose est possible d'une infinité de manières. En effet, soient H et Ri les rayons des deux cercles considérés (A) et (B) et p le rayon de leurs inverses supposés égaux. Oa a (391), en désignant par \i. la constante d'inversion et par y) etpi les puissances du centre d'inversion par rapport à (A) et ii(B),

H" p' rsj p^

Le centre d'inversion doit donc appartenir au lieu des poinls doat les puissances par rapport aux cercles (A) et (B) sont proportioniiollos aux rayons R et Ri ; et nous savons (382) que ce lieu est un cercle du faisceau déteiininé par (A) Ot (B). On voit mémo par là que l'on peut, en général, trouver un centre d'inversion tel, que trois cercles donnés se transforment en trois cercles ^aux.

398. Les exemples que nous venons de traiter se rapportent à des propriétés descripijves ou à des propriétés métriques angulaires. La méthode se prête également à la transformation des propriétés métriques do segments. On emploie ù cet effet la formule du n° 3S6, dans laquelle on peut d'ailleurs faire |ji = i. II suffit, d'après cela, pour transformer une relaIJOtt ontro diverses distances AB,BC,,.., de la figure primitive,

de remplacer chaque distance telle que AB par ^., S étant le point

pris pour origine. Voici un exemple :

Étant donnée sur une droite une série de points se succédant dans l'ordre A, B, C,..., H, K, on a évidemment

AK = AB -t- BC -H . . . -+- IIK.

La Ëgui-e inverse offre une série de points se succédant dans l'ordre S, A, B, C, . . ., H, K, sur un cercle passant par l'origine S, et l'on a entre les distances de ces points la relation

AK AB Bfl ^ „!!?

SA.SK " SaVSB "^ SB. se '^■■■"^ SHTSK'

:!B0 r.ÈOlTfiTRlE PLANE.

Si les points no sont qu'au nombre Uo trois, A, lî, G, o

SA. se SA.Sli SB. se

AC.Slï = A!i.SC-i-RG.SA,

ot l'on rolombo sur lo Lliéorùmo de Ptol6m6e (2i0) rolatif an produit des diagonales du (quadrilatère inscrit.

La méthode do transformation par rayons vectours réciproques, proposoe 1 M tubbs {PI dosop/ alMa^a ne 1843) appliquée ensuite 1 a M W 11 a a Tl omson sous le no n le pr cpe des images, a été I bjot 1 un Mén 0 tp d M L 0 v lie qu en a donné une ttéorie analyt que complète {JowiiàL de Matl émat que 1 sér e t. XU). Depuis 1 rs ia metho le a -ecu un t es ^to. d nomb 0 d appl ations ; nous en trouverons dans le para^ aphe s vant des exen 1 les ariés, mais nous devons s analcr o 1 une d s ] lus élécsn due i M. Casey, et qui eoneer e la roeho ehe de la co J o po que quai e cercles soient

dJJ A ol B étant dous ce eles q el nq e co venons de désigner I r (AB) la lo fnte ;■ de 1 ur ta s,e te com n ne L. sera, suivant les e co stances la tan^o te exté e e 0 la ta ^c te ntérleure ; mais, lans to s les as 1 fa dr attr buer à cette loeu on le sens indiqué a n 39j Co entendu le théo ome de M Casey s 6nonce de ooUe n an fre

Lo qie quat e c i-ck VBtl 0 a ^ s à un cinquième e le E le lon^ eu de l n te co n ui es satisfont à In

U o (i> (AB)(CD)=fc{AC)(BD)±(AD)(BG)-o.

Pour démontrer cette proposition, supposons, par exemple, que, des quatre cercles A, B, C, D, touchés par le cercle E, le premiet' A soit contenu dans B, et que les trois autres soient extérieurs k ce cercle. Convenons, on outro, de compléter la notation (AB), en affectant la parenthèse de l'indicoo ou t, suivant qu'on voudra désigner la tangente commune extérieure ou intérieure. Ainsi, (AB)o sera la tangente commune extérieure aux cercles A et B, et (AB)i sera la tangente commune intérieure.

Construisons la Ogure inverse du système, on prenant pour origine S lia point quelconque du cercle E {f^. 246). le eeicle E de-/iondra une droite E qui touchera les cercles a, p, fi 3, inverses des cercles A, B, C, D, et qui laissera d'un côté lo corclo ri, et, do l'autre, les cercles % Y, 3. Or, on désignant par a, p, f, 3, les points do .contact de la droite £ avec ces mêmes cercles, on a, entre les segments compris

UVIÎK m. — LES FIGURBS SEMBLABLES. sb

lîiiti'c CCS qiiBlre points, la relation suivante, faello à vÈrifioi- :

a^.fS — ŒY-pS — aS.p-f = 0.

En la divisant par le produit ??'?'(''" dos rayons des quatre cerelos o p, -f, 3, et Oïl adoptant la notation indiquée préeédemmont, on ei déduit

pp' p"?'" pp" p'p" pp'" p'p"

Cette relation, en vertu du principe établi au n° 395, revient à

( AB ), (Cp)„ (AC), (BDV (AD). (BC), ^ ^ 'ISR' ■ rU" RU" ' K'ir Ril" ' K'R-

U, R', R", ir, étant les rayons des cercles A, lî, C, D.

Fis. 24S-

La suppression du facteiir eomraïui RR'R''R"' duimo finalement l'égalité

(Ae)i (CD)i,-T.,(AC)i (BD)o^- (AD), (BC)„= a,

qui rentre bien dans le type (i).

VII, — Quelques problèmes remarquables.

PBOBLÈHE u'.lPOLT.ONLUS : CERCLE T.INGENT \ TllOIS C1ÎRCLR3 nOÎJNÊS.

iOO. Supposons le problôino résolu, et soit (to) un cercle tangent h trois cercles donnés (A), (B), (C), dont aous désignerons le contre radical par S (J/g. a47)-

■302 GfiOMÉTniri PLANE.

Si l'on fait l'invcraion de la figure en prônant pour eoiitro d'invorsioii ■le point S et pour coefBciont d'inversion la puissance de S par rapport il chacun des cercles (A), (D), (C), chacua do cos trois cercles se transformera on iui-momo, et ]o cercle (ui'), inverse do (tu), sera un second eerclo Ungcnt â (A), (B), (C); les points do coutaet a', b', c'. dc((u')avec(A), (B), (C), sont d'ailleurs situ6s sur ios droites S«, Sfc, Se, qui joignent lo point S aux poiuts de contact de (tu) avec (A), (B),

Los puissances do S par rapport à (A) et (to) étant les mêmes quo celles de S par rapport à (B) et {ut), il résulte du n° 393 quo les coiilaeta on b et en li' sent semblables ou dissemblables, en mémo temps que les contacts ennet en «'; par suite,, Ios couples do cercles (A) ot (B), (o)) et (ù)'), salisfoal aux conditions du n° 330. S eH donc un centre de dmililude da {la) et (oi'), et le point de concours C ils ali et de a'ù' e.tt à la fois un centre de similitude de {X) et {Q) et un point de l'axe radical de (ù)) et {-a'). Do mômo, le point do "concours B' de ac et de rtV est un contre de similitude do (A) et (C) ot un point de l'aso radical de (lu) ot (lo'). Par suite, l'i^co radical de (oj) et (w') est un a.vc de similitude Q'WM des trois cercles (A), (B), (C).

Il résulte do là quo fe.t centres ii et w' des deux cercles associés (uj) et (lû') sont situas sur la perpendiculaire abaisse'e de S sur A'B'C; car la droite uiu>' doit passer par le contre de similitude S de (lo) et (u)') ot être perpendiculaire à l'axe radical A'B'C de ces doux cercles,

Enfiii, les poiols a ot «' dus cordes (ui) ot (lu') étant auli-homo îoguos, les tangentes on a ot en u' doivent se couper sur l'axe radical