LIVRE l[I. — LES FIGURES SEïïnLABLES, aSj

A'B'C de ces doux cercles (37H); en d'autres termes, â'B'C doit contenir io pôle de ort' par rapport au cercle (A) et, inversement (343), la corde aa' doit contenir le pôle p de A'B'C par rapport au cercle (A). On est ainsi conduit à oetto eoncSusion :

S'il existe un cercle (lu) tangent à trois cercles donnés (A), (B), (C), il en existera un second (o)'); ces deux cercles associés (lu) et (u)') toucheront respectivement te cercle (A) aux points a et a', où ce cercle est rencontré par la droite Sp qui joint le centre radical S des cercles donnés au pâle p par rapport â (A) de l'un des axes de similitude des 'mêmes cercles; les centres u) et lo' seront les points oit les tlroites qui joignent le centre A aux points a et a' rencontrent la perpendiculaire SZ abaissée de S sur l'axe de similitude considéré.

Comme il y a quatre axes de similitude (366) dos trois cercles (A), (B), (C), on voit que le nombre des couples de cercles tangents à trois cercles doimés est au plus égal à quatre.

Pour qu'un te! couple existe, il faut 6videmmont, d'après ce qui précède, que la droite Sp qui répond à l'axe de similitude considéré coupe le cercle (A). Cette coadition est d'aiEeurs suffisante. En d'autres termes ; Si la droite Sp coupe (A) en deux points a et a' et si la et ui' sont les points oà ka et lia' rencontrent SZ, les cercles (m) et (lo') décrits, l'wi du point 0) comme centre avec laa pour rayon, l'autre du point ca' comme centre avec la'a' pour rayon, toucheront l'wi et l'autre les trois cercles doimés (AJ, (B), (C). En effet. :

D'abord, le cercle (w) touche (A) au point a, puisque ce point est

commun aux doux cercles (oj) et (A) et se trouvo situé sur la ligne des

D le, ie cercle (u)') touche (A) au point a'. Il rosto <i

((«') louciientrun et l'autre (D) et (C),

0 es "■- 2/171) par b et b' les points de (B) qui sont anti-

t a' par rapport au centre de similitude C. Il

ce ele (X) touchant (A) et (B) en a et on b, ainsi

uchant (A) et (B) en a' et on 6'; le centre X du

m la rencontre de Aa et de Bè, et le centre V du

ntre de Aa' et de B6'. Si G' est un centre de simi

) et (B), les contacts en a et & seront somblablf

ts en a' et b'; si, au contraire, C est m ceitro do

es contacta en lî et i» seront dissemblables ai isi

a' et b' (366). Les contacts en a' et b soit donc

mblables, en môme temps que les contacts en a

rcles (X) et (X') et les cercles (A) et B) satisfont

380, et l'on peut énoncer les conclusions suivantoa

le m' et de bb' appartient à l'axe radical do (A) et

(B) et, comme aa! coupe cet axo radical en S, la droite bb' passe par S ;

2" 1b point S est un centre de similitude de (î.) et (X') et, par suite, les trois points X, X' et S sont on ligne droite; 3° le point C appartient à l'ase radical do (X) et (X') et, comme le pôle Aj de c(d par rapport à (A) est sur cet axe radical et que, d'autre part, ce pôle doit appartenir ù la polaire A'iJ'C du point p sitaé sur iï<ï',on voit que ^^'^ contient deux points de l'axe radical de (X) et (X') et se confond avec cet aso : il en résulte que la ligne des centres XX' est perpendiculaire à A'Il'C. Les points X et X' étant sur SZ, ans interseeliona de cette droite avec A« et ka, coïncident avec les centres lo et u', do sorte que les cercles (lo) et {lu'), coïncidant eux-mêmes avec les cercles (X) et (X'), touchent le cercle (B). Un raisonnement analogue prouverait que(ii)) et ((o') touchent aussi (C).

Remarquons, on terminant, que, dans la règle énoncée ci-dessus, on peut substituer le cercle (B)ou le cercle (C) au cercle (A). Par conséquent, si l'on désigne {ji^. 247) par p, q, r, les pôles par rapport à (A), (B), (C), d'im môme axe de similitude, les droites Sp, S5, S'-, couperont reapectivomenl les cercles (A), (B), (C), dès quo l'une de ces droites coupera le cercle correspondant.

Cette belle solution appartient à Grcrgonne. Nous en avons toutefois modifié l'exposition, de manière à ne laisser subsister aucune ambiguïté sur la façon d'associer les points de contact, ni aucune hypothèse arbitraire sur l'exislonco des cordes tangents, existence que Gergonne admet a priori.

iOl, Pour pouvoir appliquer la solution qui précède aus cas particuliers que l'énoncé du problème comporte, il faut savoir ce quo deviennent les éléments quo nous avons appelés pûle, polaire, axe radical, centre de similitude, lorsque, dans une figure qui renferme des cercles.