LIVRE 11[. — LiiS l'iGURES SRlIBLAltLliS

ot 263. Tous les autres cas sa déduisent sans peine de la solution générale, à l'aide des résultats indiqués dans le numéro précédent. Nous uous bornerons aux indications suivantes.

DCC. — Il y a 6 centres de similitudo, par suite, 4 axes do similitude ot 8 solutions.

:os de similitude et 8 solutions s de similitude et, par suite 4 solutions es de similitude et 4 'oiutioni e de similitude et, par suite a solutions

DDC. — Il y a encore 4 a PCC. — Il n'y a que a ax< PDG. —Il n'y a que a PPC. — Il n'y a que i

402. Il importo do signaler encore, à propos du problème d ApoUo nius, quelques relations remarquables qui résultent immédiatement du théorème do M, Casey (399).

i"En supposant que le cerde D se réduise à son point do contact, et en désignant par /, /', l\ les longueurs des tangentes menées de ce point auï trois cercles A, B, C, on voit que, si un cercle E touche trois cercles donnés. A, B, C, /e.f tangentes menées d'un point quelconque de ce cercle aux trois cercles doime's salirfonl à la relation

Z'(AB);±/'(AC)±/(BC) = o.

a" Enfin, si l'on se reporte à la figure formée par un triangle quelconque, le cercle inscrit D et les trois cercles exinserits A, B, C, et si l'on applique le théorème de M. Casey à ces quatre cercles considérés successivement comme tangents aux trois côtés du triangle, on obtient Ses trois relations

— (AB),(CD)o + (AC)i(BD)o-{AD)i(BC)„ = o,

(ÂIÏ),(CD)o-i-(AC),(BD)i-(AD)o(BC)i = o,

-(AB)o(CD)i-(AC),(BD)o^-(AD)o(BC)i=o,

qui, ajoutées membre à membre, donnent

(AB)o(CD),--(AC)o(BD),-j-(AD).(BC)„=o.

Le oercle inscrit et les trois cercles exinsci-iu à un triangle quelconque sont donc tangents à un cinquième cercle, qui laisse le cercle inscrit d'an côté et les trois cercles exinscrits de l'autre côté,

[Ce théorème est dû à Feuerbach : nous le retrouverons plus loin 1-104).]

Le même procédé conduit d'ailleurs à ce tliéorèmo plus général dû à M. Hart :

Les cei'cles tangents à trois cercles donnés sont, quatre à quatre, ttmgents à uii cinquième cercle.

GÉOMfiTUlK PL-Vf

403. Nous traitoroûs d'abord quelques cas particuliers qui sont d'ailleurs intéressants par eux-mêmes, et dont noua emprunterons la solution à M. G. Takry.

{a) Décrire une circonférence (X) coupant respectivement deux droites ïlA et RB sous des angles n et ^, ei passant par un point A pris sur la droite IlA(j%. 2475).

Supposons le problème résolu, et soit B l'un des points d'intersection de la circonférence (X) avec la droite lîB. Par hypothèse, la tangente en A à k circonférence (X) fait avec la droite RA un angle égal

Fifl. 2^7,.

j a ou h son suppléinonl; par suiic, le rayon AX fait avce UA un angle égal à - — a ou à son supplément. De mCrae XB fait avec EB un angio

égala - — p ou à son supplément. Los rayons XA et XB étant égaux, le point B s'obtiendra par le tracé suivant : par un point quelconque X' de la droite AX, qui fait avec RA nn angle égal à -^ — a ou à son supplément, menez la droite qui fait avec RB un angle égal k {J

ou à son supplément; prenez sur cette droite une longueur X'B'égaleà X'A ; la droite AB' coupe RB au point cherclié. Le problème a quatre solutions.

(i) Décrb-e une circonférence ÇK.) qui coupe respectivement detta: droites données RA et RU et une circonférence donnée (C) sous trois anf^les donnés a, p, f {Jî^. 2/172).

Cherchons le centre X. Soit D l'un des points d' intersection des eir- <',onférences (X) el (C). Par hypothèse, l'angle XDC est égal à 7 ou à

LLYUË SU. — LES FIGURES SEMBI.ABUIS. sSy

son supplémeiil, at les angles XAB, XBH, sont égaux h ~ — a, ~ — [i, ou à leurs sappléments. Or, les circonférences qui eou[ient RA et Rit

sous les angles a, p, sont homotbéliques et ont pour centra

d'homothétiô le point R. On connaîtra donc la position de la droite RX

., , . ^XR xn

et la valeur du rapport yï = jfTî '

Sur b côtij XB, considéra comme homologue de XD, construisons la triangle XRC, dii'ectement ou inversement semblable au triangle XDC. On connaît l'angle XRC el la longueur RC déterminée par la propor-

lion jrs- = Yî^ ' On peut donc trouver le point C. D'ailleurs, la similitude des triangles XRC, XDG , donne la relation ^^ = =^ ■ Par conséquent, le point X, situé sur la droite connue RX, appartient aussi à la circonférence, lieu des points dont les distances à C et à C sont dans lo rapport de XR à XD. Le problème comporte huit solutions.

(c) Connaissant deux circonférences (A) et (B) et un point D pris sur (A), construire une circonférence (X) qui passe par D et qui coupe (A) et (B) sous des a/igles donnés a et ^ {J!g. 2473).

Supposons le problème résolu, et soit E l'un des points communs aux cercles (X) et (D). Par hypothèse, les angles XDA, XEB, sont égaux aux angles h et p ou à leurs suppléments. Sur le côté XD, 6gal

Hj, .47..

à XE, construisons lo triangle XDB' symétriquement ou directement égal au triangle XEB. On connaît les angles ADX, XDB', et, par suite, la position de la droite DB' ot colle du point B'. Le centre X est donc déterminé, puisqu'il est situé suris droite connue DX et équidistant des points B et B'. Il y a quatre solulions.

(rf) Décrire une circonfiSrence {H) qui coupe respectivement deux cii'confércnces concentriques (A) et (B) etune circonférence quelconque (C) sous des angles donnds a, §, y.

li. et DE C. - Tr. lU Gàom. {l" Poi-rîii), IQ

ago GÉOMtTlUE PLANE.

Décrivons une circonférence qui coupe respectivement (A) et (I!) sous les angles a et p. L'une des circonféranees cherchées sera égale à cette circonférence et coupera (C) sous l'angle y- Or, le liou des centres des circonférences égales qui coupent aous un même angle un cercle donné se compose de deux circonférences coocen trique s. Les centres des cercles chercîiés so trouvent donc à la rencontre de circonférences que l'on sait construire. Le problème comporte huit solutions.

(c) Nous pouvons maintenant passer au problème général :

Décrire une circoiiféi'en.cc (X) qui coupe respectivement trois cerclei donnés (A), (B), (C), sous des angles donnés a, p, y-

Si deux des cercles donnés, (A) et (B), se coupent, on formera la figure inverse en prenant pour centre d'inversion l'un des points d'intersootion 0 et poui coefficient d'inversion la puissance de ce point par rappoit au cercle (C). Ce ecrcJe ne changera pas, les cercles (A) et (B) se transformeront en deux droites et, comme l'inversion n'altère pas les angles on soia ramené au problème {b).

Si les Cl! confCi onces (A), (B), (C), considérées doux à deux, n'ont aucun point commun on pourra (392) former la figure inverse de façon que deus clos cordes donnés so transforment en deux circonférences concentriques et le problème sera ainsi ramené au problèrao {d)

(CRCLE DES NRDP POINTS.

iM. ABO cLaEt un liianglo quelconque, ciésignons par (M) le cercle qui a pour rayon la moitié du rayon du cercle circoDScrit et pourcentre !o milieu M do la droite qui joint le centre 0 du cercle cireonserit au point de concours H des hauteurs (fig. a47i,).

Lo cercla (M) passa par las milieux a, b, c, des côtés, par les pieèU a, p, Y, des hauteurs, et par les milieux p^ q, r des distances du point •s H des hauloiirs aux trois sommets A, B, C.

En effet :

1° La droite M;j, joignant les milieux M et /> des côtés HO et HA du triangle OIIA, est parallèle à la base OA ei égale iï la moitié de cette base, c'ost-à-diro à la moitié du rayon du cercle circonscrit. Le cercle (M) passe donc par p, et l'on verrait de mémo qu'il passe par i/ et r.-

2° On a vu (li7) que les hauteurs du triangle ABC étaient los perpendiculaires élevées sur les milieux dos côtés d'un second triangle A'fl'C, obtenu en menant par chaque sommet du premier la parallèle au enté opposé. Los triangles A'B'C et ABC étant semblables et ayant a pour rapport de similitude, la droite AH considérée comme liée au triangle A' B'C ost double de la droite 0« qui est son homologue par rapport au triangio

E m. — LES FICUliES É

ABC. Los droiles Oa et Aju sont donc égales ot, comme elles sont parallèles, pa est égale et parallèle à OA. Par suite, pa n'est donc autre

eliosequej^Mprolongéo d'une quantité Mu égaieàjpM, et lo cercle (M) passe par n. On verrait de même qu'il passe par b et i^.

3° Enfin, puisque p<t est un diamètre du cercle (M) et que l'angle paa est droit, le cercle (M) passe par a. On (verrait de même qu'il passe par fi et y.

Cette propriété, qui a fait donner au cercle (M) lo nom de cercle des neuf points, est duo à Eoler.

On peut aisément trouver les tangentes aux neuf points.

La tangente nE au point « est perpendiculaire au rayon M« ou à sa parallèle OA : elle ost donc parallèle à la tangente AT au cercle circonscrit; mais celte tangente est antiparallfele à BG par rapport à l'angle BAC, puisque les angles TAB, ACB, ont la même mesure. Par conséquent, Ut tangente aE au cercle des neuf points au point a est antiparallèle à BC p(ir rapport à l'angle BAC.

Au point p, la tangente est parallÈle à «E et, au point a, la tangente fait avec la dii-ectioa CB un angle EaB égal à l'angle E«C que la tangente on « forme avec la direction EC. On connaît ainsi les droites qui toucîiont le cercle (M) aux neuf points a, h, c, p, q, r, a, p, -f .

Parmi les nombreuses propriétés dont jouit le cercle (M), il importe de remarquer la suivante, due à Feuerbaeh :

Le cercle des neuf points est tangent ait cercle inscrit et à chacun des cercles exinscrits au triangle ABC {f!g. 2473).

En effet, soient I le centre du cercle inscrit et l' le centre de l'un des cercles exinscrits, par exemple de celui qui est compris dans l'angle CAB.

yGoosle

iga GÉoaÈTniE plake.

Le cûté BC est uno tangente commana iutérieure aux deux cercîea I M r, et son milieu « os t aussi lo milieu de l'intervalle FF' compris entre

SCS doux points do eouLact ; car, en désignant par a, li, c, les côlé Iriaiiglo ABC cL psn- p son demi -péri mètre, on a (161)

BF = /' — b, BF' = p — c

La seconde tangente commane intérieure KIC passe par le point A' où la première roncentre la bissectrice Aiï' de l'angle BAC ; elle est d'ailleurs symétrique deBC par rapport à cotte bissectrice, c'est-à-dire antiparallèle à flC par rapport à l'angle BAC.

llomarquons cû 6 n quo les quatre points 1,1', A, A', étant harmoniques , lonrs projections suv BC forment aussi un système harmonique FF'aA', do sorte qu'où a (t) TIf^^ âï'^ = ac..aA!.

Ceci posé, formons la figure inverse dos cordes I, I', et du cercle des noof points, en prônant pour origiiio le point « et pour constante d'inveraioQ la quantité al' . Cotte quantité étant égale à la puissance du point a par rapport ù l'un ou l'autre dos cercles I et I', chacun de ces coreies coïncidera avec son inverse. Quant au cercle des neuf points, puisqu'il passe par l'origine a, il aura pour inverse une droite. Cette droite passera par A', puisqu'on vortu do l'égalité (i) îo point A' est i'invorso de a; ollo devra en outre faire avec la direction BC un angle égal h celui que la tangente on a au cercle dos neuf points fait avoc cette même direction, fin d'autres termes, la droite inverse du cercle des neuf points aéra la droite menée par A', antiparallèloment à BC par