AP^CA. AP; ^ C|A

CiDi ~CCi' CD ce'

il suffit dès lors de prouver que lo produit CD.CiD, osî constant. Or, si l'on désigne par 0 le milieu do CiDj et par E la projection do C sur C|Di, oa voit que lo produit en question est égal à 4OD1.OIÏ ou à CD| — CCi , qui est ime quantité constante.

PROIÏLÈMB DE CASTILLON.

406. Liicrire dans mt cercle donné un polygo/is doiU chaque cutii passs par un point donné.

La solution suivante, que nous empruntons â M. l'eterson, offre un oxemplô très remarquable do la mûihodo par inversion. Le lecteur la saisira saas peine s'il veut bien faire la figure avec la règle et le compas. Nous avorliSBOns d'aiUeuvs, une fois pour toutes, que, lorsque nous parions de l'inversion d'une partie de la tigiuve autour d'un point, il faut entendre que l'on construit la figure inverse de la partie considérée en prenant pour origine le point indiqué et peur pulusance d'inversion la puissance de ce point par rapport au cercle donné.

Il convient de distinguer deus cas suivant que le nombre dos côtés est pair ou impair. Nous nous bornerons aux cas du quadrilatùro et du triangle, la généralisation n'offrant aï>r6s cela aucune difficulté.

Cas du. qitadrllnîère. — Soient a, b, c, d les points par lesquels doivent passer respootivemenL les côtés AB, BC, CD, DA. llemarquons d'abord que le point A, après quatre inversions successives autour do «, /', c, d, revient en A ; on d'autres termes, si l'on prend successivement l'inverse Ag de A par rapport à a, l'inverse Aai, do Aa par rapport à h, l'inverse kabc do Aat par rapport à c, et enfin l'inverse Aaderf de kabc par rapport ù d., le point kahai coïncidera avec A. D6signons par P lo point oblonii par l'inversion de d successivement autour do c, b, a, en sorte que l'inversion de P autour de «, b, c reproduira d. Cela posé, si l'on faisait successivement l'inversion de la droite PA autour do a, h, c, rf, on trouverait d'abord un cercle passant par «, B, Pa, puis ua cercle passant par «ù, C, Paie, olisuite un cercle passant par tibc, D, Vabc ou atc, D, d, et enfin une droite passant par A et par lo point abat que nous désignerons par Q et que l'en obtient en faisant 1 autour do /', c, d. Mais les droites QA et l'A qui ré-