LIVRE iir. — LES FIGURES SEJIBLAULES. agij

sultent ainsi l'une de l'aulre par qualro inversions doivent (387) faire avec le cercle donné des angles égaux et de même sens, puisque, d'aprèa la manière dont on a choisi les puissances, le cercle se transforme chaque fois en lui-même; donc PAet QA forment une même droite, et l'on obtient le point A par l'intersection du cercle et de la droite qui joint les points connus P et Q.

Cas du triangle. — Soient a, b, c, les points par lesquels doivent passer respectivement les côtés du triangle demandé ABC.

En opérant comme ci-dessus, mais faisant bien entendu trois inversions au lieu de quatre, on trouve encore deux segments roctilignes PA et QA; seulement ils ne formentplus une même droite, car les angles qu'ils font avec le cercle donné sont égauK, mais non de même sens. Soi t K le point qu'on obtient en faisant l'inversion autour de a, b, c, de l'un dos points où Pu coupe le cercle ; par cette opération, aP et AP deviennent ies droites RQ et AQ, et les angles aPA, RQA sont égaux et do mâme sens, en sorte que, si l'on appelle S l'intersection do «P et de Qlt, io quadrilatère APSQ est inscriptible; le cercle circonscrit au triangle connu PSQ délermino donc le point A par son intersection avec le cercle donné.

PIt0BLé»E LE MALfATTI.

40/- Étant donn^ un triangle ASQ, décrire trois cercles (a), (b),(c), inséras respectwement dans Us angles A, B, C, et tels que chacun d'eux touche les deux autres.

Trois cercles («), {b), (c), considérés deux à dous, donnent lieu à trois couples ayant chacun quatre tangentes communes. Nous dirons que deuï tangentes communes sont associées, lorsqu'elles seront relatives à un même couple de cercles et qu'elles seront on outre de môme espèce, c'est-à-dire toutes deux extérieures ou toutes doux intorioures-

Cela posé, nous établirons d'abord, pour plus do clarté, doux lemmes préliminaires.

1° Si deuce tangentes extérieures da, df, relatives à deux couples différents {b) et (c), {b) et («), et une tangente commune mtdi'ieure dh, relative au troisième couple (a) et (c), concourent en un même point d, les tangentes nq, yq, pq, qui leur sont respectivement associées, connourent aussi en un même point q {fig- 248).

En effot, par le point q, intersection de iq et do 75, imaginons qu'on mène la seconde tangente qp au cercle (c); il suffit de montrer que cotle droite qp touche le cercle {«). Or, les quadrilatères dnq-^, dh qa., étant circonscrits, le premier au cercle (&), le second au cercle (c),

(/a -hrf-j' =1= ^y-]- -I- (ja, d'i.-i~ qh — dh + r/K,

•;g6 GltOMÉTlillt l'LÀNIi.

■;'jù, par aousLrficiion,

d'i -h eût = q'(-i-(i/i.

Le quadrilatère d^qh est donc circoiiscriptlble à an cercle; et, comme trois do ses côtés toueheat déjà le cercle («)> '° quatrième côté ij/i doit tonclier ce mâmo cercle.

2" Si deuj: cordes (0) el (0') déterminent sur une sécante AB' dev.x cordes ^alcs ÂB, A'B', ces cercles seront vus sous des angles égaux du point de concours M des tangentes MA, MB', menées aux extrémités de la sécwite {fg. a18i).

En olfet, soient F, P, F', les projections des points 0, M, 0', sur la sécante AB'. Les triangles AMP, AOF, étant semblables, ainsi que tes triangles MPB' et B'O'F, on a

AM ^ AO MP B'F' MP " AF' ii'M "" B'O''

• i'iiù, |)Hi' iDiiîLijdication,

AM AO^ %'^l ~~ B'O'"

Les triangles rectangles AOM, B'O'M, sont donc semblables et, par conséquent, les angles AMO, B'MO', sont égaux; ce c[ui démontre l'énoncé, puisque ces angles sont les moitiés de coux sous lesquels on voit du point M les doux cercles.

Ajoutons que les tangentes AK. et B'L sont égales, puistiue la puissance de A par rapport au eorele (0') est ovidcmmeal égale à la puis-