LIVRE 111. — I

sanco do B' par rapport au cercle (0). Inversement, si la transversale AB' est telle que les tangentes AK et B'L soient dgalcs, les cordes AB et A'B' le seront elles-mêmes.

Arrivons maintenant au problème de Malfatli.

Soient D, E, F {fig. 24^2), les points de contact dos trois cercles cherchés (d), (b), (c). Los tangentes en D, E, F, étant les axes radicaos de ces cercles pris deux à deux, concourent au centre radical L de ces trois cercles. Soient G et H les points où le côté BC du triangle .VBC louche (û) et (c). On a évidemment

MQ — Mil = GQ — RH = QE — RF = LQ — LIi,

et la comparaison des morahres extrêmes prouve que le point M est le point où le cûtô RQ touche le cercle inscrit dans le triangle RLQ (161). Nous désignerons ce dernier corcle par (a"), et nous représenterons par ((•') et (c') les cercles analogues qui touchent respectivement les côtés AG et AB aux points N et P.

Si l'on considère alors le système des trois cercles («'), (l/'), (c'), les tangentes communes RN, SM, PQi concourant au point L, il résulte du premier lemme ciue la seconde tangente commune intérieure à (a') et à (&') passe par le point de concours G dos tangentes communes extérieures BC et AG,

Les relations

MD = MH r= TF, nu = NK = NF,

donnant, par addition, MU = TN, la remarque qui termine le second lemme prouve que les cercles {n') et (6') doivent înterceptei' sur MN deux cordes égales- Donc, en vertu de ce même lemme, la tangente

39° GEfUHKTRIE PLANE.

commune intérieure aux deux cercles (a) cl (/ ) jui passe pu le sommet C, est la bissectrice de l'aogle C

De là, on conclut le tracé suivant : I éiain le centi e du loi de insu a doits le triangle donné ABC, inscrives un certL dans chacun d<,i triangles lAB, IBC, ICA, puis menez les secondes tangentes communes intérieures de ces trois cercles pris deuj. a deux on obtient ainn dos triangles ayant chacun pour côtés une de cet taiigCntes et deux cotés du triangle ABC : les cercles inscrits daiu C(,i nouieaux triangles sont tes cercles cherchés.

CcLto règle a étd domiée on 1836 par Stcinoi-, mais sans ddmonslration proprement dite, l'âmineut géomètre s'étant borni à indiquer les tbéorèmes sur les centres de similitude, les axes radicaux, ..., qui permettraient do parvenir au tracé indiqué.

Nous avons adopté ici !a démonstration do M. Hart, dâvoloppéc par M, Desboves dans ses Questions de Géométrie.

VIIÏ. -- Traneformatiou par semi-droitee réciproques.

DÉFJKITIOM DES SËMI-DttOiTBS ET DÏÏ3 CYCLES.

■WS. Une droite étant donnéo, on peut supposer qu'elle soit décrite dans un certain sens par un point mobile; une telle droite, déterminée ainsi par sa position et le sons dans lequel elle est décrite, est désignée soua lo nom de semi-droite; ce sens ost indiqué snr la figure par uni» flèche placée près do la droite.

LHRE m. — LES EIGUEES SEMlilAELES. 399

Une mCme droile pouvant être décrite dons deux sens différents détermine deux semi-droites distinctes que l'on appelle semi-drciics opposées.

Dn cercle étant donné, on peut supposer également qu'il soit décrit dans un certain sens par un point mobile; un tel cercle, déterminé ainsi par sa position et le sens dans lequel il est décrit, est désigné sous le nom de cjcfc ; ce sens est indiqué sur la figure par une flèche placée près de la circonférence du cycle.

Un même cercle pouvant être décrit dans deux sens différents détermine deux cycles distincts que l'on appelle c^cks opposés.

En un point A d'un cycle, la tangente doit Être considérée, le long de l'élément infiniment petit commun au cycle, comme décrite dans le même sens Fie. ^iy-

que le cycle; la tangente au point Aestdonc une semi-droite ijien déterminée

De là résultent les conséquences suivantes :

1° On ne peut mener à un cjcle donné qu'une taii'^eiite parallèle à une semi-droite donnée {Jig. a<i9)-

Il est clair, en effet, qu'on peut mener au corde déterminé par le cycle deux tangentes parallèles à la droite déterminée par la semi-droite donnée; mais, si l'on désigne par A et par A.' les points de contact, on voit que les tangentes au cycle en ces points ont des directions opposées ; une seule d'entre elles est donc parallèle à la semi-droite donnée.

%" Deitx cycles donnés ont deux tangentes communes et n'en ont que deux.

Sur la ^g". 2491, on voit que les semi-droites AA'etB'B sont tangentes à la fois aux deux cycles K et K'. Les cercles déterminés par ces cycles ont quatre tangentes communes dont deux sont précisément AA' et BB"; si l'on considère une quelconque des deux autres, par exemple CC, il est aisé de voir que, quel que soit le sens dans lequel on suppose décrite cette droite, elle ne peut toucher les deux cycles donnés, d'après la définition donnée du contact d'un cycle et d'une semi-droite.

Le point de rencontre P des deux tangentes communes est le centre de similitude des doux cycles.

Ce centre de similitude est unique (').

(') Une propos

3oo GÉOMÉTaiIÎ Pi.ÀNE.

La distattce AA', comprise sur l'une des tangentes communes entre les points de contact avec les cycles, est la distance tangentictte des cycles; elle n'est déterminée qu'en valeur absolue, mais non en signe.

Le rayon d'un cycle sera regardé comme posîiif si ce cycle est décrit dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre, comme négatif dans le cas contraire.

Par suite, on désignant par T la distance tangentielle des deux cycles

FiB. Aq..

dont les centres soni 0 et 0', la/%. 3491 montre immédiatement qu'en désignant par I) la distance des centres, on a la relation Tï=D5-(« — 11')^

Cette formule détermine, dans tous les cas possibles, la distance tangentielle do deux cycles; on particulier, si nous considérons deux cycles opposés et si le rayon d'uû de ces cycles est R, l'autre est — R ; d'ailleurs, b distance de leurs centres est nulle; on a donc, dans ce cas, T»=-4!l=.

Une semi-droite étant donnée, ainsi qu'un point P, !e cycle qui a pour centre ce point et qui touche la serai-droite est bien déterminé; ia distance du point P à la semi-droite est le rayon de ce cycie; elle est donc déterminée en grandenr et en signe.

Un point doit être considéré comme un cycle d'un rayon infiniment petil ; toutes Ses semi-dioiteti passant par ce po nt doivent 6trc considérées comme tangentes à ce cycle

Étant données doux scm droites quflconques, on peut construire une infinité do cycles qui leur soient t-msents les contres de ces cycles sont situés sur une mêmr' droite que 1 on ippeilora la bissectrice des semidroites.

Si, !e point P d' in tei section des wmi droites restant fise, l'angle que font ces sami-droites diminue indéfiniment en sorte qu'elles tendent toutes les deux à ae confondis avec leui bissectrice, les rayons de tous les cycles inscrits diminue it mdtfiniment cl à la limite, ces cycles se réduisent à dos pointa tandis que 1 deux semi-droites deviennent deux sonii- droites opposée

LIÏHE m. — LBS FIOUBES SEMBLABLES. 3o!

On yoil ainsi que les cycles qui touchent deux semi-droites opposées BOrtt les divers points de la droite qu'elles déterminent.

11 résulte aussi de ce qui précède qu'un cycle assujetti à toucher trois semi-droites données est entièrement déterminé. Son centre est le point de rencontre des trois bissectrices des semi-droites prises deus à deux.

MÉTH(iDE DE TBANSFÛRMATiON.

<W9. Considérons une droite use ù ; traçons dans le plan un cycle quelconque K ayant pour centre le point 0 et, sur la perpendiculaire abaissée du point 0 sur la droite 2, prenons un point arbitraire P (j%. a49î)'

Ceia posé, à chaque semi-droite KM du plan, on peut faire corrospondie une- autre semi-droite de la façon suivante. Menons au cycle R la tangente AB parallÈle àNM, joignons le point de contact A au point P, et, au

Fie- =49î>

point A' où la droite ainsi obtenue rencontre le cycle, menons la tangente A'B'; menons eniiu, parle point M où la semi-droite donnée coupe la droite fixe il, une semi-droite N'M parallèle à A'B'.

rTM correspond ainsi à NM, et il est clair, en examinant les constructions effectuées, que NM correspond réciproquement à N'M; en dit qua ces deux semi-droites sont réciproques.

Il résulte évidemment de ce qui précède que :

1° Deux stmi'droilas réciproques se eoupent sur l/t droile ii que l'on appelle l'axe de transfornuition ;

%" Des senii-é-oitcs parallèles ont pour réciproques des seml-droiteh paraUéles.

Si, du point P, on mène des tangentes au cycle K, on voit que les semi-droites parallèles à ces tangentes sont leurs réciproques à ellesmêmes. Il y a donc deux séries de semi-droiles parallèles qui se transforment en elles-mêmes; ces semi-droites font des amgles égaux avec l'axe do transformation, li est toutefois à remarquer que ces semi-droife.s no sent réelles que si le point P est ostériour au cyde K,

Missing Pages

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3o4 GÉOMÉTUIE PLANE,

5,° Leurs tangentes communes sont (laralUles à deuj: directions fixes, à savoir aux directions des semi-droitei qui se transforment en ellesmCmes.

Dé3is;nonB respectivement par R et R' les rayons îles deux cycles (ces quantités étant données en grandeur et en signe ) et par D et D' les distances de leurs centres à l'axe ( ' ].

La première propriété donno la relation suivante ;

et la deuxième, la relation