I.IVnE in. ~ LES FIGURES SEMBLABLES. 3o

Soit K lo cycle donoé; de son centre 0 abaissons une perpendiculaire OP sur l'axe de transformation et de son pied P comme centre décrivons le cercle qui coupe orthogonalemont le cycle donné. Ce cercle coupe la droite OP en deus points A et B; on prouvera aisément qu'i! existe une transformation telle que les tangentes au cycle K aient pour réciproques

les semi-Jroitos qn se crcsent au pont II ëxi te t'ol ment une autre tvansfoimatiou dans laquelle le pont L est 1;, r cproqie du cycle K(/^ 249s J

Une transformation étant defîr le par 1 a\e de tran'jformat on i* e( par le module a il existe une infinité d* cydos qu nt joui t insformés des points ils sont définis par la teiatioi

D" aî-i-i

Leur propriété caractêristiqae est que Imir r.-ifon varie propordonneltement à la diitaace de leur centre à l'axe; elle présente une grande importance dans l'application de la transformation par semi-droites réciproques à la théorie des anticaustiques par réfraction.

THÉORÈME

412. La distance tangenlielle de deux cycles est égide à ta distance iangentielle d.es deux cyrles correspondants.

Considérons, en effet, deux cycles ; désignons respectivement par R et r leurs rayons, par D et rfles distances de leur centre à l'ase de transformation, par p !a projection sur cet asedela droite qui joint leurs centres, et par T leur distance tangenlielle ; on aura évidemment

Soient do même R' et ;' les rayons dos cycles transformas ; D' et d' les distances de leurs centres à l'axe, et T" leur distance tangentiello. Si l'on remarque que deux cycles réciproques ont leurs centres sur une mènm

R. et DE C. — Tr. de Geo/a. (I" Partie). ZQ

3q6 géométrie plane.

parpeniliculairo à l'aïs, il est clair q:ie l'on a

Or les formules énoncùos plus haut donnent aiscSmciit D' „■= (I)-.t)(»--*-^l-«|B— ■)

, 2..(D-rf)-(.--i-il(a-.)

Substituant ces valeurs dans rexprcsslon priicédeiito, il viendra, toutes réductions faites,

T->«,.>+(D-J)>-(R~r). = T.; CQ qui dû montre la proposition énoncûe (').

AI'PLlCATlOnS BË l.li UÉTIIOCE.

413. Soient (Jîg. 2,199) trois cycles K, K' et K° ayant respectivement pour centres los points 0, 0' et 0". Soient F" le centre de Bimilttude des cycles 0 et 0', P' le centre de similitude des cycles 0 et 0". Supposons que la droite P'P" ne coHpe pas le centre 0; en prenant cette droite pour BïQ de transformation, nous pourrons toujours, en choisissant, convenablement le modale de la transformation, transformer le cycio 0 en un point a. Les deux tangentes FA et P'B auront pour transformées les semi-droites opposées déterminées par les points P" et u; le eycio S.' étant tangent à AP° et l''B aura pour transformé un cycle tangent à ces demi-droiles opposées, et, par conséquent, un point m' qui sera l'intersection de P~a< avec la perpendicuiaire abaissée de 0' sur l'axe F P".

Les deux tangentes CP' et FD auront pour transformées les semidroites opposées déterminées par la droite Va, et il est clair que le cycle 0*, qui louche CP' et P'D, aura pour transformé îo point u" où Fw rencontre la perpendiculaire abaissée de 0° sur l'axe P'P". Si l'on considère

(') RelatiïBmont Ë Ja traii a formation par rayona lectiîHra réciproques, le Ihéorèmo analoQue est lo suivant 1 L'angle ions lequel se coupent deiijc cercles est égal à l'angle sons leqiielse coupent les cercles correspondants.

Ce théorèniB s'étend n déai courbes quelconques, et de même dans la trans-

Sî une scKii-tlroile û louche deux courlies aiij: deux polnls a et S, et si la semi-droite réciproque i' touche les coarbes transformées nuj^ point! a' et S', les deux longueurs ah et a' l^ sont Jgales,

• VilUnES 5LMBLiUl.ES.

nnintenant les ùmx tangentes communes quï cycles K',K', elles auront pour tiaiiùform^es los semi droiles opposées déterminées par les pomls u et «' Dou il résulte que ces tangentes se coupent au pomt P ou îa droite tu m" lencontre P P , et de là une démonstration nouiclJo do uette proposition rappelée plus haut : Les ti-ois centres de similitude ik tro/J lydes c miihiis dcuv à deux sont en ligne droite; il suit du !à égilemcut que u tr is ejdes sont tels f/ue la droite, ijiii Ci. ilit it km s ccnlrcs de siimlitiulr, no

'.iforinalion par semi-droites réciproques, les transfo

points ( ' )

A\i. La transfo! mition par semi-droites réciproques peut servir, comme la tranafot milion par rayons vecteurs réciproques, soit à simpIiDer !a solution de ceitains problèmes, soit à géniralisor certaines propriétés

Pour en donner un exemple simple, considérons lo probiéme suivant ; Construire un cfele touchant trois cycles donnés.

Supposons que les cycles donnés K, K' et K' soient tels que la droito qu' ont'ent ! 'urs centres de similitude ne les coupe pas : nous pouvons, dp ce q p é de en prenant cette droite pour axe do transforinat t n f II clés donnés en trois points «, m' et m". Le cercle

passa t p p nt détermine deux cycles opposés H et H' dont les

é p q 1 1 oluUons du problème. Deux cycles opposés i-en-

t 1 1 1 tra f rraation aux mêmes points, il en est de môme de

('} La propriété snato{riie dans Ta llirioi'ia do la ti yeeteurs réciproques est la aiiivante : Lors/pic deux a toujours les Iraiii/ormer en deux droiles.

3o8 GfiOMÉTftlE PLANE.

lours rëtâproqucs; d'oi il suit que le problème proposé a deuï solutions, et que l'axa radical des deux cycles qui satisfont à îa question est l'axe do similitude des cycles donnés.

Le problème de mener lai cenle tangent à trois cercles donnés se ramène immédiatement au précédent. On peut, en effet, donner à un des cercies un sens arbitraire, de fagon à le transformer en un cycle ; on transformera également les deux autres cercles en cycles en fixant leur direction, ce qui pourra se faire de quatre façons différentes. A cliaque groupe de cycles correspondent deux solutions; îe problème proposé aura donc en tout huit solutions.

4i!i. Un point décrivant dans un sens déterminé une semi-droite ou un cycle, si l'on emploie la transformation par rayons vecteurs réciproques, on voit que ie point transformé décrit une anfre ■■omi droite ou un autre cycle (lequel peut so réduire à une sem dro te quand le \ Me de tra la formation est sur le cycle cens déré)

On pout souvent, avec ava ld,e employer t. multanémont la transfor dation par rayons vecteurs roc [roques et la transformât on par sem droites réciproques. Ainsi, en "écérai étant d n s cinq tycl on pe t par deux transformations . c es les Iran for r en de x sen droites et en irais points. ILi eff t S deus des cj clos sa coa| e t par une première transformation par rayons ecteure réc pro j es on pourra les transformer en deux serai-dro tes Les tro s autres cycl s ayant pour transformées K, K' et E', si 1 axe de smr i t de de ces cycles ne les ren contre pas, on pourra, par ne t an fo m t on p r s n dro tes réc proquos, los ti-ansformir en t os fonts tand s q o les e Jro tes se transformoroct en somi-droite

La méthode de transforn o j r e I t s c { q e.tu6 à M. Laguerre [')■

('] Les pages qui précèdent, et que ce prorond géomâlro a bian vouln Tedj[>cr E(iLC]alcinenf pour notre Iraité, ce renferment que les principes de cUte ihoono si iiig jii a^c Jont Ip lecteur pourra conatyter la fécontlité eu (iiisuItiDt Us li.i»j>le r<; li. i! V^cudémle chu S-:isi„:,'S [imn^nt. i8S. cl