DÉFINITIONS

fi-16. On appelle(T//'erétendued'uiieporUoniimitéeiie surface.

Quand deux ligures peuvent coïncider, elles sont égales. Quand deux figures non superposables ont des aires égales, on dît qu'elles sont équivalentes^

Un côté quelconque d'un triangle étant pris pour base, ia hauteur du triangle est la perpendiculaire abaissée du sommet opposé sur la base.

Un côlé quelconque d'un parallélogramme étanl pris pour base, la hauteur du parallélogramme est la distance constante {69) qui existe entre sa base et le côlé opposé.

D'après cela, les deux côtés adjacents d'un rectangle constituent indifféremment sa base et sa hauteur, et reçoivent le \om de dimensions de la figure.

Les bases d'un trapèze sont ses deux côtés parallèles, et sa hauteur est la distance constante de ces deux côtés.

THÉORÈME

W7. i" Si deux rectangles de même base ont des hauteurs égales, ces deux rectangles sont égaux.

a" Si trois rectangles de même base son t tels, que la hauteur du premier soit égale à lasomme des hauteurs des deux autres, le premier rectangle est égal à la somme des deux autres.

En effet :

1° Soient (/(§■. aSo) les deux rectangles ABCD, A'B'C'D', dont les bases AB et A' B' sont égales ainsi que les hauteurs AD et A'D'. Ces deux rectangles sont évidemment superpos^ibles.

(3'0Sif(T)ilF, rLAHE.

2» Soient [fig. iSa) les trois rectangles ABGH, A'B'CD', E'F'G'H', dooi les bases AB, A'IS', E'F', sont égales, et dont les hauteurs Aiï, A'D', E'H', satisfont à la condition

Je rectangle AGBH est égal à la somme des deux autres; car, si Von prend sur AH une longueur ÂD égale à A'l>', et qu'on

mène ta parallèle DC à AB, DH sera égale à E'H', en vsrlu de i'tiypolhèse. Far suite, des deux rectangles ABCD, DCGH, qui composent le rectangle ÀEGÏÎ, le premier sera égal au rectangle A'Iî'C'D', et le second au rectangle E'F'G'H' (i").

Corollaires.

'iî8. Le rapport de deux rectangles de même basa est égal ait rapport de leurs hauteurs; en d'autres termes, l'aire d'un rectangle de base constante est proportionnelle à sa hauteur.

Car le iSiéorème précédent prouve qu'un rectangle de base conslanLe et sa hauteur satisfont aux condilions nécessaires et suffisantes ( Noie ï) pour qu'il y ail proportionnalité entre ces grandeurs.

Comme on peut échanger la hase et la hauteur d'un rectangle (416), on peut dire aussi que le rapport de deux rectangles de même hauteur est égal au rapport de leurs bases.

En rapprochant les deux derniers énoncés, on peul dire que l'aire d'un rectangle est à la fois proportionnelle à sa base et à sa hauteur.

Donc [Noie I), le rapport des airesde deux rectangles quelconques est égal au produit des rapports de leurs bases et de leurs hauteurs; en d'autres termes, deux rectangles quelconques sont entre eux comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur.

THÉORÈME

419. L'aire d'un reciangle a pour mesure le produit du nombre qui mesure sa base par le nombre qui mesure sa haU" leur, lorsque l'on prend pour unité d'aire le carré construit sur l'unité de longueur.

En effet, soient {fg. aSo) ABGH !e reclangle à mesurer, et A.'B'C'D' le carré dont ie côté A'B' = A'D' représente l'unité de longueur. On aura (k-iS)

^ ABGH AB AU

A'Ii'C'îy ~ A'B''A'B''

Ûr, le premier membre de ceue relation est égal au nombre qui mesure i'aire ABGH [Notel), et les rapports qui composent le second membre sont respectivement égaux aux nombres qui mesurenllabaseet la hauteur du rectangle proposé. Donc, dans ie système d'unités adopté, le nombre qui mesure l'aire du reclangle est égal au produit des nombres qui mesurent sa base et sa liauteur. Ainsi, en désignant ces trois nombres par S, B, H, on a la formule

S — lî.H.

Comme ce théorème est d'un usage très-fréquent, on préfère l'énoncer d'une manière plus rapide, quoique incorrecte, en disant simplement ; L'aire du rectangle est égale au produit de sa base par sa hauteur.

SCOLIE

420. L'aire d'un rectangle est encore égale au produit de sa base par sa hauteur, lorsqu'on prend pour unité d'aire le rectangle ayant pour base la longueur prise pour unité de base, et pour hauteur la longueur prise pour unité de hauteur.

421. L'aire d'un carré est égale au carré de son côté; de là, le nom de carré donné à la seconde puissance d'un nombre.