Exemples
1° Quelle est la surface d'un reclangle dont la base est égale à 2°',34, et la hauteur à S^'jiy?
3i2 isiojiÉiusE vLkSS.
On a i)our l'aire demandée :
S = 3,34x 3, 19= ^'"1,4646, ou ■] mètres carrés, 4^ décimètres carrés, 4^ cenlimètres carrés.
2° Il a fallu 1 5 rouleaux de papier, de 1 o mètres de longueur chacun sur o"' ,60 de largeur, pour tapisser une paroi rectangulaire de 18'" ,25 de largeur; quelle est (a hauteur de celle paroi P
La Ëurface du reclangis considéré est
Sa JjiîSfl étaûl sS'" ,35, 011 aura pour sa liauteijr
^~ 18, a5 1 centimètre.
TllÉOliËME.
423. L'cùre d'un parallélogramme a pour mesure le produ de sa base par sa hauteur.
Soit iftg- -^Si) i(3 parallélogramme ABCD. On obtient ie rectangle de même base et de même hauteur en meoanl des exlrémilés de la base ÂB sur ie côté opposé les perpendiculaires AF et BE. Pour démontrer le théorème énoncé, il suffit alors (M9) de prouver l'équivalence du parallélogramme ABCD et du rectangle ABEF. Le trapèze ABED est une partie commune à ces deux figures; il reste donc à comparer les parties non communes BEC, AFD. Or ces parties non communes sont des iriangles rectangles égaux, comme ayant l'hypoténuse égale et un côté de l'angle droit égal, savoir : BC = AD comme côtés opposés d'uti parallélogramme, et BE^ AFpour iamème raison.
ConOLLAlBES.
424. En désignant par S, B, H les irois nombres qui mesurent respectivement l'aire d'un parallélogramme, sa base cl Ed. hauteur, on a la formule
Donc •■
Deux parallélogrammes de même base et de même hau~ leur sont équivalents ; deux parallélogrammes sont entre eux comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur; deux parallélogrammes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs; deux parallélogrammes do même hauteur sont entre eux comme leurs bases.
THÉORÈME
'i25. L'aire d'un triangle a pour mesure la moitié du produit de sa base par sa hauteur.
Il suffit, pour démontrer ce théorème, de prouver que tout triangle est la moitié du parallélogramme de même base et de même hauteur.
Soil le triangle ABC {Jig. aSa), On oblienl un paraliélogramme de même base BG el de même hauteur AE, en menant, par les sommets A et G du triangle, des parallèles AD et CD aux côtés opposés. Le triangle ABC est la moitié de ce parallélogramme ABCD, car tout parallélogramme est partage par une de ses diagonales en deux triangles égaux. Donc, l'aire du parallélogramme ABCD étant égale au produit de sa baseEC par sa hauteur AE (423), l'aire du triangle ABC sera égale à ia moitié du produit de sa base BG par sa hauteur AE. Conoj.tAinES.
426. En désignant par S, B, H, les trois nombres qui mesurent respecUvemenl l'aire du triangle, sa base et sa hauteur,
GÉ031ÈTR1R PLAKE.
Donc !
Deux triangles de même hase et de même hauteur sont équivalents; deu.%- triangles sont entre eux comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur; deux triangles de même base sont entre eux comme leurs hauteurs; deux triangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases.
627. Quand le Iriangle est équilatcral, son aire s'exprime en fonclion de son côlé n.
La Iiauleur du iriangte tombant alors au milieu de sa Irase, on a en efïei.
Cl la forrauls
EsEJBi'LE. — Quelle est la siirfane du triangle êquilalêral de 1 mètre de côlé?
On a
à I cenlimètre carré pressas. Considérons un triangle ABC et appelons
a, b, c, les côLés respeclivement oppoïûs aus Eommols A, C, C;
P, le demi- paramÈ Ire ;
S, Vaire;
/', la liautour relative au cûlé o;
R, le rayoo du cercle circonscrit;
r, le rayon du cercle inscrit;
/'i r", r'", les rayons dos cercles ex-inscrits qui sont respective m ( tuiSs dans les angles A, B, C.
LITRE iV, — LES AIRES.
1° La [iroposition du ii" 239 donne
!,^ = -iVL/i, d'où oic = 2R«/i--=4îî.S,
„ abc (T) S = |R-
Ainsi, l'aiie d'an triangle est égale au produit des ti-ois côtés divisé par quatre fois le rayon du cercle circonscrit,
a° En joignant aux trois sommets A, B, C, le centre 0 du cercle inscrit, on voit (^. a53} que
ABC = OBC + OCA-t-OAB.
ît, comme les triangles indiqués dans li
membre ont rcspecti-
voment pour basas «, h, c, et pour hauteur
le rayon rdu cercle
(a) S = pr.
S" En Joignant aux trois sommets lo contre 0' du cercle e situé dans l'angle A, on voit que
