ABC = 0'CA^- O'AB — O'BC
On trouverait de mÊmo
yGoosle
3l6 GÉOJIÉTBIE FLAKE.
Les formules (a), (3), [i], (5), donnent de nouvelles expressions tie l'aire d'un triangle.
4° Les formules (t), (a), (3), (4), (5), permettraient inversement de Ealculer E, r, r', r', i-"", en fonction des trois côtés, si l'on contialssaît l'oxprossion de l'aire S en fonelion de ces côtés.
Or, cGtte expression résulte immédiatement dn calcul fait au n" 229- On a trouvé, en eiïet,
d'où, en icmarcpianl que S = -■ ■ fi,
On peut d'ailleurs établir cette formule géométriquement de la matiàre suivante {fg. 253).
En mullipljanl les relations (a) et (3) membre à metnbro, on obtient
Les bissectrices OC et G'C des deux angles adjacents et su])plémeiitaires ÎÎCA, BCQ, étant rectangulaires, les triangles OPC, O'QJ^, sont terublablcB comme ayant les côtfe perpendiculaires, et l'on a
OP PC CQ O'O
Mais OP et O'Q sont respectivement égaux à r età r', et, d'après ie n" Ifil, les longueurs PC et CQ sont respectivement égales h. p — b ei à p — c. On a c'one
et, par suite, la relation qui représente le produit des équations (a) et ['i] devient
5° Enfin, en multipliant membre à membre les relations (a), (3), (4) et (J), on obticiit
(i"où résulte, eu égard à la formule (G), l'espression plus curieuse qu'utile
Application numéhique. ~ Cnlculer l'aim S et les rayons R, r, r', r", i'", des ceicles circonscrit, i/iscrit et ex-inscrits , relatifs au tjiaiigle qui a pour côtés
On a d'abord
d'où
Les formules [G), (i), (a), (3), [4), (5), donnent ensuite f veulent
-1/6.3.3.1 = 6""', It =
Le triangle considéré élant rectangle, puisque c'^a'' + b', il est facile de trouver directement les valeurs numériques que nous venons ds déduire des formules générales.
429. Pour évaluer l'aire d'un polygone, if suffît de décomposer ce polygone en triangles, de calculer les aires de ces triangles et de faire la somme des nombres ainsi obtenus.
Pour opérer cette décomposition, on peut choisir un point quelconque dans le plan du polygone et le joindre à tous ses sommets. Les bases des différents triangles formés seront les côtés du polygone, leurs hauteurs seront les perpendiculaires abaissées du point choisi sur ces côtés. L'aire du polygone sera la somme arithmétique ou algébrique des aires des triangles obtenus, suivant que leur sommet commun sera intérieur ou extérieur au polygone.
Souvent, on fait la décomposition en prenant pour centre l'un des sommets du polygone, c'est-à-dire en menant toule<; les diagonales qui partent d'un même sommet.
430. Si l'on peut trouver dans l'intérieur du polygone un point à égale dislance de tous ses côtés, c'est-à-dire si le polygone est circonscripiibîe, les triangles qui le composent ont pour hauteur commune le rayon du cercle inscrit, et son aire a pour mesure la moitié du produit de son périmètre par le. rayon du cercle inscrit.
TUÈORÈME.
43i. L'aire d'un trapèze a pour mesure le produit delà demi-somme de ses bases par sa hauttur.
3i8 GâonËrniii PLAnc.
Soit la trapèze ABCD (fig. 254), En menant la diagonale BC, on le partage en deux triangles ABC, BCD, qui ont pour hau-
teur commune la hauteur EF du trapèze, et pour bases respectives ies bases même du trapèze, L'sire du premier est
deux expressions, on trouve, pour l'aire du irapèze,
ScouËS.
432. En désignant par S, B, b. H, les nombres qui mesurent respeclivemeoi i'aire d'un trapèze, ses deux bases et sa hauteur, ou 3 la formule
U3. Menons par le point G [Jig. 254), milieu du côlé ÂC, une parallèle GH aux deuK bases du trapèze. Cette parallèle coupera le côté BD et îa diagonale BG en leurs milieux II et L (182). On aura donc
AB ,,, CD .... f-n AB + Ci) Qh — — j Lil = — ■> c'esl-a-dire GIÏ— -— •
La droite qui joint ies milieux des côtés non parallèles d'un trapèze est donc égale à la demi-somme de ses bases, et l'on peut dire par suite que l'aire d'un trapèze est égale au produit de sa hauteur par la droite qui joint tes milieux de ses côtés non parallèles.
Exemple. — L'une des bases d'un Irapèze égale lo mètres, sa hauteur est de 4 mètres, sa surface de Sa mètres carrés. On
