ABII AC , AD ADE^ AE.AD

La diSmoiislration subsiste pour deux triangles ACG, AD'E, qui ont un angle supplémentaire; il aulflt de remplacer partout la lullre D par la lettre D'.

438. Le carré construit sur l' hypoténuse d'un triangle rectangle est équivalent à la somme des carrés construits sur les côtés de l'angle droit {fig- 258).

Soit le triangle ABC rectangle en A; soient les carres ABDE, ACF6, BCHK, construits sur ses trois côlés. L'angle en A étant droit, !e côté ÂK du carré ABDE sera ïa prolongesncnt du côté CA du triangle, et le coté Ati da carré AGFG sera le pi^olongemerit du cûié BA.

L!V[1K IV. — LES AIRÎS. SaS

Ceci posé, abaissons sur l'hypoténuse BC la perpendiculaire AL, et prolongeons-la jusqu'en ïoii elle coupe le côléKH; menons les droites AK el DC- Le triangle ABK a même base BK que le rectangle BKIL, et il a aussi même hauteur, puisque son sommet A se trouve sur la droite IL ; le triangle ABS équivaut donc (425) à la moitié du rectangle BKIL. De même, ic triangle BCD équivaut à la moitié du carré ABDE, cor il a même base BD et même hauteur, puisque son sommet G se trouve sur la droite EA. D'ailleurs, les deux triangles ABK el BDC sont égaux comme ayant un angle égal compris cnlre deux côtés égaux chacun à chacun, savoir : l'angle ABK égal à i'angieCBD, comme formés tous deux d'un angle droit et de l'angle ABC du triangle donné; le côté BK égal au côté BG comme côtés d'un même carré; le côté AB égal au côté BD pour la même raison. De l'cgafîté des deus triangles ABK et BDC, on conclut l'équivalence du rectangle BKIL et du carré ABDE.

On démoulrerail d'une manière analogue, en menant les droites Aîl el BF, l'équivalence du rectangle CHIL et du carré AGFG.

Le carré BCÏÏK, somme des deux rectangles BKIL et CHIL, est donc équivaienl p la somme des deux carrés ABDE ei ACFG.

COROLLAIUES.

i39. Deux rectangles de même hauteur étaiu entre cuj; comme leurs bases, on a

BKIL BL ^ CHIL CL BCHK " BC *^^ BCHK ~ BG '

d'où, en remplaçant les rectangles par les carrés équivalents,

ABDK ACFG BCHK BL ~ CL ~ BG

Les carrés construits sur les calés de l'angle droit et sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle sont donc respectivement proportionnels aux projections -te ces cùt/'s sur l'Iirpoténuse ei à l'hypoténuse elle-même.

32^ OfiOMÉTUlK PLAWli,

443. Si i'on eonslruU sur les côtés de l'angle droit et sur l'hypoténuse d'un triangle rectangie ABC trois polygones semblables I', Q, R, on aura (435)

E -^ Q„ -^ ?^ d'où f + Q H

AÊ' AC' BC' Âb' -h AC' BC'

c'est-à-dire (

SCOLIÎ .

kh'i. On peut donner du théorème qui précède (438) une autre déîîjonatralion qui montre comment on peut décomjiose.r effecllvement le carré construit sur l'hypoténuse en parlies capables de recouvrir ies carrés construits sur les côtés.

Soit [fi^. aSg) le triangle ABC rectangle en A. Sur l'hypoic- Muse BC, construisons le carré BCÎIK. Des sommets 51 et Y.,

abaissons sur le côté AB et sur son prolongement les perpendiculaires HG ei Kl; des sommets G et K, menons à ce même côté, jusqu'à la rencontre de H(l, les parallèles CF et KL.

Les quatre triangles rectangles ABC, CFH, HLK, KIB^sont égaux, comme ayant l'hypoténuse égale et un angle aigu égal. GlKLet ACFGsoni donc les carrés construits sur les côtés AB et AG du triangle donné. La figure montre alors immédiatement que, si l'on enlève les deux triangles IICT, HLK, qui, avec le pentagone irrégulier GFLKB, constituent le carre construit sur l'hypoténuse, pour les placer on CAB et BKl, on forme, avec les trois mémos parties disposées de cette nouvelle façon, !a figure AGFLKÏ, qui est précisément la somme des deux carrés cunslruils sur les deux côtés de l'angle droil.

i,:vitK IV. — i.Es AIRES, 620

ilâ. Enfin, on peut encore déduire !e même îSiéorème de celui du n" â24. Car, puisque l'aire du carré construit sur uoe droile a pour mesure le carré du nombre abslrail qui n.esure la longueur de celte droite, on voit que le théorème du n" 224 exprime que ia mesure du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des mesures des carrés construits sur les côtés de l'angle droit, et, par suite, que le premier carré équivaut à la somme des deux autres. Inversement, on passerait du point de vue concret au point de vue abslrail, c'est-à-dire du n" 438 au n" 224, en remplaçant les nires des carres par leurs mesures respectives.

La même remarque s'applique aux diverses relations numériques que nous avons démontrées dans le § IV du Livre IIÏ, e;itre les divers éléments d'un triangle rapportés à une unité commune. De ces relations, résultent immédiatement autant de théorèmes sur les aires, et l'on pourrait inversement donner des démonstrations directes de ces derniers théorèmes el en déduire en'^uile les relations numériques correspondantes.

g IIL - AIRES DU POLYGONE EÈGULIER ET DU CERCLE.

i'(3. Vu secleur circulaire esl h portion de cercle comprise entre un arc ACD8 et les rajons OA, OB, menés aux estrémités de cet arc {Jïg. ?.6o).

Vn secleur polygonal régulier esl la portion de plan comprise entre une ligne brisée régulière ACDB et les rayons OA, OB, menés du centre 0 de celle ligne (2(58)3 ses extrémités. En divisant en un nombre quelconque de parties égales l'arc

336 CÈOSIÉTBIE PI.AKS.

AU du secteur circulaire OAU el joignant les poinis de division, on cblieni ms secteur ïioly^oiiiil réj;uiier OACDB inscrit i^ans !q secleur circulaire.

THÉORÈME

hkh. f/fiir.-; d'un polfgone régulier a pour mesure le- produit de son périmètre par la moilié de l'apolhème {fi§: 261}.

Fie- aGi.

En effei, Cil joignaïUiecenlreO du polygone régulier ADGDEF a tous seii sommels, on décompose ce (loljgoiie en triangles OAES, OBG,. . -, OFA, qui ont respectivement pour bases les côtés AB,BC,..., FA, et pourhauteur commune l'apothème OG. La somme des aires de ces triangles, c'est-à-dire l'aire du polygone, a donc pour mesure le produit de la somme des côtés AB, BC, . . , , FA, par la moitié de l'apothème OG, c'est-à-dire le produit du périmètre par la moitié de l'apothème.

En désignant par S, p,a, î'aire, le périmètre et l'apothème du polygone proposé, on a donc !a formule

GOROI. TAIRE.

i45. Le rapport des aires de deux polygones réguliers d'un même nombre de eéiés est égal au rapport des carrés de leurs apothèmes ou de leurs rayons.

En effet, soient p, a, r, le périmètre, l'apothème et le rayon du premier polygone, et p', a', r', le périmètre, l'apothème ei le rayon du second. En vertu du théorème précédent, le rapport des aires est égal à

yGoosle