I.ITIIE IV. — LK5 AIRES
Le rapport des oirea ûst donc égal h
Celle proposition ré.sulie encore de ce que deos polygones réguliers d'un même nombre (ie côlcs sont sembiables (269), et de ce que les aires de deux polygones semblables sont entre eiîes comme les carrés de leurs droites homologues (^35,211).
SCOLIË.
&4.5. Par un raison ne ir.eni analogue à celui tlit n" !M, on prouveraîl que l'aire d'un secteur polygonal i-égidierOk.CO^ (fig. 260 ) a pour mesure le produit du périmètre de la ligne brisée régulière ÂCDB par la moitié de l'apothème Ot-
447, Soit OAB un soctôur circulaire {Jlg. a6o). En partageant l'arc AB en un uombfo quelconque n de parties égales et menant des tangentes par les milieux des divisions ainsi obtenues, on forme doux sectours polygonaux réguliers OACDB, OA'C'D'B', semblables, l'un inscrit et l'autre circonscrit au secteur circulaire OAB. Si l'on désigne par a el/> l'apothème et le périmètre de la ligne brisàe régulière ACDB, et par a' ot jj' l'apothème et le périmètre de la ligne brisée régulière A'C'D'B', le
rapport doE aires des deux secteurs polygonaux sera i-,.-^. D'ailleurs,
il résulte du n" §S1 que, lorsqu'on fait croître « indéfmimenl suivant iino
loi quelconque, les rapports—,! -pi ont pour limite l'unité. Donc, il en est
do même du rapport -Vr et par suil«, àforliuri, du rapport du secteur
circulaire à chacun des detis secteurs polygonaux qui Ip. comprennent. Eor.c :
L'aire d'un secteur circalaira est ta limite commune des aires des secteurs pofygonana; réguliers semblables inscrit et circonscrit, lorsqiion fait croûre indéfiniment la nombre des côtés de la ligne brisée inscrite.
Et, de même, Paire d'un cercle est la limite commune des aires des polygones réguliers semblables inscrit et circonscrit, dont on {ait croître indéfiniment le nombre dos côtés.
3^S cSOMÉITilSJ PIAKE.
Il imporie de remarquer que cas deus éiioncéa sont de véritables l!ièorènies, tanflis que les ânoiicés analogues f 291) sur la longueur de l'arc et de la circonCéreQce ne sont que des dcJînUions.
TBÉOBÈME.
448. L'aire d'un cercle a pour mesure h produit de sa circonférence par ta moitié du rayon.
L'aire du cercle est ia limite des aires des polygones réguliers inscrits dont le nombre des côtés croit indéfiniment. D'après cela, soienlS, C, B, l'aire, la circonférence, le rayon du cercle considéré, cl s, p, a, l'aire, le périmètre ei l'apollièioe d'uiî polygonercgulicr inscritdQnscecercle. Ona(444)
Lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côiés du polygone régulier inscrit, s tend vers S, p vers C et i:; vers R. On a donc, à la limiie,
CoROLLilRIÎS.
449. En remplaçant dans la relation prêcôdenle ta circonférence C par ca vaieui'
(a) C = 2irR,
on obtient la nouvelle formule
13) S = ;rlî',
qui montre :
1" Que, pour calculer l'aire d'un cercle de rayon donné, il faui multiplier par ti le carré du rayon;
2" Que, pour calculer te rayon d'un cercle d'aire donnée, il
faut multiplier par- ou diviser par tt te nombre qui exprime
celte tcire, et extraire la racine carrée du résultat.
.^80. Si, au iieu d'éliminer C entre les refalions {() ''^M^). 1 élimine ïl, on trouve la formule
qui permet de calculer dircctemeni ia surface, connaissant la circonférence, ou la circonférence, connaissant !a surface. Celte formule est beaucoup moins usuelle que les précédentes.
