ExBMFLES
i" Quelle est la surface d'un baisin circulaire dont le rayon
et, en prenant pour tt la valeur 3,i42 approchée à moins d'un millième, on trouve S = LG^sCSàmoinsd'im décimètre carré, 3° Quel est te rayon du cercle dont la surface est de 20 mètres carrés?
à moins d'un centimètre.
3° Quelle est la surface d'un cercle dont la circonférence
est égale à ro niAtres?
On a
à moins d'un décimètre carré,
452. Le rapport des'aires de deux cercles est égal au rapport des carrés de leurs rayons.
Car, en désignant par S et R l'aire et le rayon du premier
330 CÉO.nÈTRlE rLAKIÎ.
cero'c, Cl pQr S' et R' S'alrc ei le rayon eu sscond, on a S = ,S., G' = „I.'., .i'où | = |;V
TIIÉOBËME,
433. L'aire d'un secteur circulaire a pour mesure le produit de son arc par la moitié du rayon.
L'aire du secteur circulaire est la limite des aires des secleurs polygonaux réguliers inscrits [kkt) dont on i'ail croître indéfiniment le nombre des côtés. B'après cela, soient S i'aire du secteur considéré, l îa longueur de i'arc qui la termine, et R !r rnyon de cet arc; soient de même s l'aire d'un secteur polygonal régulier inscrit, p ie périmètre de la ligne brisée régaiière qui !c termine, et a !'apolhème de cetlc ligne brisée. On a (W6)
Mais, lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côlés de h ligne brisée régulière inscrite, s tend vers S, p vers /, ci a vers K. On a donc, à la limite.
(5) S^rz/.-R.
CorvOI,!,A(ll'^B.
45'*. En comparant les formules (i) et (5), on voit que le secteur est au cercle entier comme son arc est à la circonférence.
Si n est le nombre de degrés de l'arc, le rapport de col arc
à la circonférence sera tn^i el par suite i'aire S du sectem
s'obtiendra en mnliipiiaiU par ce i-appori l'aire itE' du cercle, Oe sorts qu'on aura
Cette l'orniulc permet de caicaier l'sine quelconque des quantités S, H, n, lorsqu'on connaît les deux autres.
LIVEB IV. — LES A1EE3. 33i
^■55. EïEaP!.ES.
i" Quelle est l'aire du secteur de 60 degrés dans Is cercle dont le rayon est de 10 mètres?
L'arc de 60 degrés étant le sisième de la circonférence, le secteur correapondant est le sixième du cercle, c'est-à-dire
à moins d'un ccniîmèlre carré.
2° L'aire d'un secteur est égale à l'aire du carré construit sur le rayon. Quel est le nombre de degrés de l'arc qui le ier^
La formulo donne
3" Quel est le raj-on du cercle dans lequel le secleur de 45 degrés renferme o'"i, 1 ?.So ?
La formule
4S6. le rapport des aires de deux: secteurs semblables, c'oHlà-dire icrminés par des arcs semblables, est égal au rapport des carrés de leurs rayons.
En effet, S, /, R, étant l'aire, îa longueur de l'arc elle rayon du premier secleur, et, S', l', R', Taire, la longueur de l'arc el le rayon du second secteur, on a
yGoosle
0!', les (Jciix arcô l cl /' éiant semblables, leur rspfiorl eal cgal à celui de leurs rajons ('i36) : on a donc
457. L'aire d'un, segment circulaire a pour m-'sure le produit de la moitié du rayon par l'excès de son arc sur la moitié d/: la corda de l'are double [f'g. 262)
En effet, le segment AMB, c'esl-à-dire la portion du cercle comprise entre l'arc AMB et sa corde AB, est égal à l'excès de l'aire du secteur OAMB sur Taire du iriangle OAlî. Or, l'aire
(lu secleur a pour mesure arcAB-- OA; l'aire du triangle a pour mesure BP-- OA, BP étant la perpcndiculiiire abaissée du
point B sur le rayon OA, c'esl-à-dire la moitié de la corde BB' de l'arc BAB' qui (102) est le double de l'arc AB. On a donc, en désignant par S l'aire du segment,
S--arcAB.- OA - --BB'.-OA,
Lorsque la corde BB' est !e côté de l'un des polygones réguliers que l'on sait inscrire ( Liv, III, g VII), on peut calculer directement cette corde, par suite Taire du segment; sinon, il faut recourir aux Tables trigonomélrigues.
LîVRî', iT. — LES A.inE5. 333
