EïEBPLE

Quelle est l'aire du segment de 60 degrés dans le cercla doiii le rayon est 2 mètres?

L'arc AB est ici le sixième de la cîrconiei'ence; il est doiu'.

La cortle BB' est le côté du triangle équilal*5ral inscrit, égal à 2^/3; on a donc

à moins d'un millimètre cnvré.

COROLLAIRB.

459. Le rapport des aires de deux segments semblables, c'est-à-dire terminés par des arcs semblables, est égal au rapport des carrés de leurs raj-ons.

En effet, soient S etT les aires du secteur et du triangle dont le premier segment est la différence, et S' et T' les aires du secteur et du triangle dont le second segment est la différence; les secteurs S et S' sont semblables, ainsi que les triangles T et T' ; donc, si l'on désigne par ÎS et R' les deux rayons, on aui'a

et, par suite, en vertLi d'une proposition connue sur les rapports égaux,

S - T lî'

g IV. - PROBLÈMES SUR LES AIRES.

PROBLÈME

4C0. Construire un triangle équivalent à un polygone donné {/g-. 263, 5,64).

Soil, par exemple, le pentagone convexe ABCDiil (fig. 263).

Eli raenanl la (Uagonaîe EC, on délache de ce pentagone le triangle EGD. Si par le sommci D on mène alors une pacallè!e DF à la diagonale EC, tous les triangles qui auront EC

[)oiir base ni leurs sommeiE sur DF seront équivalents au triangle ECD {42G), et formeront avec le quadrilatère ECBA un polygone équivalent au pentagone proposé. Or, pour que le nouveau polygone ABCFE ait un sommet de moins, il suffit de choisir parmi lous ces triangles celui dont !e sommet est en F, à la rencontre de la parallèle DF et du côté BC prolongé.

La construction indiquée permettant de transformer un polygone quelconque en un polygone équivalent, mais ayant un côté de moins, on arrivera toujours, en la répétant, à un triangle équivalent au polygone proposé.

Dans la Jîg. 263, en menant par le sommet A, jusqu'à la rencontre de FB prolongé, la parallèle AG à la diagonale EB, on passe d« quadrilatère EABF au triangle équivalent FEG. Ce triangle est donc équivalent au pentagone primitif.

461. Lorsque le polygone considéré n'est pas convexe {fig. 264.), la construction reste la même. Le pentagone concave ABCDE, augmenté du triangle EDC, équivaut au quadrilatère ABCE; et ce quadrilatère, diminué du triangle EFC, qui est équivalent au triangle EDC, donne le quadrilatère ABFE équivalent au pentagone proposé.

Scoi.rE.

462. Le problème précédent fournit un nouveau moyen pour évaluer l'aire d'un polygone; on peut, en effet, transformer îe polygone considéré en un triangle équivalent, puis calculer l'aire du co triangle.

LiVHE IV. — LKS AilttH, 335

Appliquons ce procédé à !a recherche de l'aii'e du trapèze.

Soit ifig. i65) an trapèze quelconque ÂltCD. Menons la diagonale BIÎ et la parallèle CE à cette diagonale jusqu'à la rencontre de la base AB prolongée.

Le triangle ÂÛE sera équivalent au Irapèae ABCD. 1! s d'ailleurs même hauteur DF, et sa base AE ost ia somme des deux bases du trapèze. On retombe ainsi sur la mesure connue 1431).

niOlîLÈME.