Construire un carré équivalent à un polygone donné

Supposons d'abord qu'on veuille construire un carré équivalent à un triangle donné. Soient X le côté de ce cari'é, B et H la base et la hauteur du triangle propose. O^i devra avoir (421,428)

Le côté du carré cherché sera donc nue moyenne proportionnelle à la moitié de la base du inangSe et à sa hauteur.

S'il s'agit d'un parallélogramme, d'un trapèze, d'un polygone régulier et, en général, d'un polygone dont l'aire soit exprimée par le produit de deux lignes, il suffira de chercher la moyenne proportionnelle à ces deux lignes. On obtiendra ainsi le côté du carré équivalent.

Dans tout autre cas, on transformera le polygone donné en un triangle équivalent (460), et on cherchera Je carré équivalent à ce triangle, comme on vient de le dire.

PROBLÈME

4G4. 7'rouvor âsus: droites proportionnelles à deux polygones donnes.

On pourra toujours remplacer les polygones considérés par

GÉOJllÎTniE rLAKE.

lea cyrrés équivalents {IGS}. Soieni a el a' les côlés de ces car-i'és, ss eif les drohea cherchées. On devra avoir

On peut choisii- arhitrairement l'une des deux droites cherchées, X par exemple, cl poserjf- = a'. Il vient alors

X sera donc, dans celle hypothèse, une troisième proportionnclle (aW) DUS côlés a' et a; el le rapport de celle troisième iivopoi-iicnne!!c à «' sera le même que celui des polygones donnés.

PROBLÈME

463. Construire un polyg^one équivalent à un polygone P el semblable à un. polygone Q.

Il s'agil ici de transformer un polygone donne P en un autre polygone K équivaleni a» polygone P, mais semblable à un second polygone donné Q.

Soieni q un côté quelconque du polygone Q, el x le côté homologue du polygone X. On devra avoir [']35)

ou, puisque le polygone X doit être éiiuivalenl au polygone [*,

Q ff i' "'a''

liemplaçons les polygones Q el P par les carrés équivalenis u' el b' [Wd], n viendra

^ = i', d'où - = -^b' ce' b X

Le côlé X e.-j,\. donc une quatrième proportionnelle aux trois droites a, b, q (256), el il restera à construire sur ce côté, homologue du côlé q, un polygone semblable au polygone Q 1253).

yGoosle

PROBLÈME

166. Deux figures semblables élant données, construire une figure semblable égale à leur somme ou à leur différence.

S'il s'agit de deus carrés dont les côtés soient a et h[a'^b), le côté X du carré égal à leur somme sera l'hjpoiénuse du triangle rectangle ayant pour côtés de l'angle droit a et 6; le côté yAa carré égal à leur diïïérence sera le second côté de l'angle droit d'un triangle rectangle ayant a pour hypoténuse et b pour premier côté de l'angle droit [438).

S'il s'agit de deux polygones semblables A et B (A>L], dont deux côtés homologues quelconques soient a et i, le côté liomologue x du polygone semblable X=;A-[- B sera l'hypoténuse du triangle rectangle construit sur a et t comme côlés de l'angle droit; le côté homologue y du polygone semblable V=; A— D sera le second côté de l'angle droit du triangle rectangle ayant a pour hypoténuse et b pour premier côté de l'angle droit (UO).

Dans le cas de deux cercles ayant H et iV pour rayons, il suffit de remplacer dans l'alinéa précédent « et & par U et R', pour trouver les rayons x m y des cercles égaux respectivement à la somme ou à la différence des deux cercles donnés.

SCOLIE

4.67. Soit à construira une droite x liée à plusieurs longueurs données a, b, c, d, e, par une expression de !a Tornie

On cherchera d'abord a = y'a' + 6' à l'aide d'un triangle rectangle ayant fi et & pour côtés de l'angle droit: a sera l'hypoténuse de ce triangle; puis j3-.= y'a' — c', à l'aide d'un triangle rectangle ayant a. pour hypoténuse et c pour côté de l'angle droit; p sera le second côté de ce triangle. De même, on cherchera y = v'i3' + d^ et X = y'y' — e', par deux autres triangles rectangles ayant, le premier (3 et rf pour côtés de l'angle droit, le second y et e pour hypoténuse et côté do l'angle droit : X sera le second côté de ce dernier triangle.

R, 01 DE C. - rr. ae Gcom. [1" Partie). 32

468 SI rcsuhe du dernier alinéa du ti" hQQ que si, sur les Irois côlés d'un ii-iangic reciangSe AïiC [Jig. 266) comme diamètres, on décrit des demi-cercles, ie demi-cercle décrit sur

l'iiypoiénuse sera équivalent h. la somme des demi ccfcles décrits sur les côtés de l'angle droit. En enlevant de part et d'auirelcs parties communes A/jB, A^^C, qui sont ombrées sur la figure, on voit que la somme des deux lunules AmB^A, AnC^A, esi équivaieiiie à l'aire du triangle rectangle ABC. Ceue proposition esî attribuée à Hîppocraie.

PROBLÈME

409, Coiislniiie un polf^ne semhlahlK à Hii j70lyf.^one lionne, m dont l'aire soit à celle de i:e polygone dans le rapport da dùux droites données M et N [fig. 267).

Supposons d'ahoi'd que le poljgone donné soit un carré, et Moit A îion côié. Si S est le c6lé du carré cherciié, on devra avoir (435)

La guesiion cal don»; de construire on Iriyngle rectangle tel,

Llïmilî IV. — LES AIGES. 339

que le rapport des segmenis déterminéysurriiypolénosepar la perpendiculaii-e abaissée du sommel de l'angle droit soii

égal a -^ [hZd], et que le côté adjacent au segmeni qui correspond à N soit égal à A.

Or, en portant sur une droite indéfinie BC = M, CD = N, en décrivant une demi-circonférence sur BD comme diamètre, et en menant à Bl> la perpendiculaire CE jusqu'à la rencontre de celte demi-circonférence, on obtiendra un triangle rectangle BlîD dans lequel les segments de l'hypoténuse présenteront le rapport demandé. 11 en sera de même (213) pour tous les triangles rectangles semblables qu'on formera en menant entre les côtés de l'angle droit CED, prolongés ou non, une parallèle à l'hypoténuse CD. Parmi tous ces triangles, celui dont le côté, dirigé suivant El), est égal à A, répond à la question.

On portera donc sur ED la longueur EG = A; par le point G, on mènera à BD la parallèle GF jusqu'à la rencontre de Elf, et i''E représentera le côté du carré cherché. On a, en effet,

Ëf]FH EC Ëf' M

j^'^HG~CD "" A' ~'n'

470. Soit maintenant un polygone quelconque P, soient p l'un de ses côtés et x le côté homologue du polygone cherché X. On devra avoir, d'après renoncé,

i> — ^ et p-^,'

Le problème se trouve donc ramené à trouver le côlô d'un carré qui soit k un carré donné dans le rapport de deux droites données, question que nous venons de résoudre. Quand on 1 aura obtenu le côté x homologue de p, il restera à construire sur ce côté un polygone semblable au polygone P.

34o GCOUÉTIllR PLANE.

471, Dans le cas de deux cercles, en désignant par x ci r leurs rayons, on devra avoir

Tr£' M ^ M

Ccsi encore le mSme problème.

ScOLIli.

'i'72. Si le rapport -=7 élail donne numeriquemem et égal,

par exemple, à ■■■■• on choisirait une certaine longueur pour

unîlé, ei l'on rcnirerail dans le cas piécédenl en prenant les droites BC cl CD égales à cinq fois el à sept fois celle longueur.

473. Oïl peut aussi, dans ce cas, opôrer d» la manière suivante. Soit ^ = -• Sur KH, côté du carré donné, comme diamètre {Jïg. 368), décriïo?, iiiic demi-circonfârence. Divisez KII au point I dans lo rapport do

5 â 2 = ; — 5, el meneK à KH la porpondîculaire IL. La droite K.L sera le côté du carriS cherclié (439).

Si le rapport tj est plus grand que i et égal à | , par exemple, divisez le côté donné KII {fg. 269), au point I, dans lo rapport de 7 à 3 = 7 — 5. Décrives sur Kl comme diamètre une demi-ci rconférenc«, et menez au point H à m la pcrpuiidiculuire HL. J^ droite IfL sora lo eûti du carrCelierchô <T£',).