FORMULE DE PONCELET

La base A'B' doit ici encore étro partagée en un nombre pûir de particG Égales, dix par exemple {/îg. 271). Nous désignerons les onze ordonnées correspondantes par/i, js, j-j, . , ./lo, Jiv Parles extrémités de

Fis.

toutes les ordonnées de rang pair y^^ yi, . .., ^lo, menons des tangentet à la courbe AB, et terminons ces tangentes aux deux ordonnées voisines. Nous formerons ainsi uiio série de trapèzes dont la somme, évidemment supérieure à l'aire cherchée danB le cas de la fig:ure, sera une limite supérieure du résultat demandé.

En appolaut/;l'iulorvallc constant entredeux ordonnées consécutives, ona

trapèze AD' = aA./-, trapèze BF'— ^à.yi,.

En désignant jiar S la S'

S trapèzes, il vient

la parentiièso renfr-fine toutes les ordonnées do rang pair, En désignotil leur somme par P, on aura donc

Menons les cordes AC et BL, qui correspondent ans divisions extrêmes; puis, dans l'intervalle, les cordes CE, EG, GI, IL, qui correspondent chacune à deux divisions. Nous formerons une nouvelle série de Irapfeïcs dont la somme sera une limite inférieure du résultat demandé. On a

trapèze AC'= /i f"'^"' "^ -^'A ,

trapèze CE'= %h (--v '''')'

trapÈïa iL' =■- i/i (~-^y^)' trapèze LB' ^ A (■~^') ■ En désignant par s la somme de ces trapèzes, il vient

ou l)ien, ou ajoutant et en retranchant dans la parentlièee ■-''—^■ii,

A étant l'aire cherchée, on a

Mais la moyenne ^ — tombe au'* i u ire s et S, On peut donc, saut une erreur que nous estinurinï pitndi

dans cette formule, P désigne, comme nous l'avons dit, la son^me de toutes les ordonnées de rang pair, E est la somme des deux ordonnées extrêmes, E' est la somme des deux ordonnées voisines des deux extrêmes. L'avanlago de cette formule, quand le nombre des divisions est grand, c'est qu'il n'y entro que les ordonnées de rang pair et les deux ordonnées

3^4 GÈOSIÉTillE TLANK,

extrêmes, ce qui dispense de calculer les ordonnées inlermédiaires rang impair.

H reste à indiquer une limite supérieure de l'erreur commise en e

ployant la formule. Comme A tombe entre S et — ; — ou entre ■■ ^ ■ e l'erreur que l'on fait en substituant — ;— à A est moindre que S ■ ;

u que — -^ s, c'esl-a-dire que

Menons sur la figure les droiUfS A3 et CL; ces deuï droites coupent rordonnéc du milieu GG' en deux points M et N, et l'on a

La limite supdrii

par lu produit