MN
On peut donc p ' o' l c' li co rbe mener [ révise i rement les
deux premières et les d d è (i é q H du milieu,
en donnant à A u t< I p I t I 1 vérifier, en
mesurant MN, si 1 pp ml d m dé t b b c'eslrà-dire
si la valeur clioi p / t bl
Reinaiyjue, — S 1 AB L 1 d t XY dans toute son étendue, une ml 1 d t à I mém f ule. Si cet arc était en part t p t t ne perpendiculaire à XT p 1 p t d n l d p es les règles précédentes, les d p t t d t d tl 7 fendiculaire et l'on en ferait ! somm
Application. — V i q td 1 d t e, en divisant le rayon en d pi é^ I
r„=-'>. Js= 0.917. :>'. = 0,954.
j.j= o, 600 , r, = o , 7 1 ij ,
La vraie valeur est - = o""î,785i. La formule do Simpson donne o'°',78i8, celle de Poncelot donne o"^ ,782a.
Il — Sur la difîérencs entre la longueur d'un arc de cercle et celle de sa corde.
LEMME
ils. L'aire d'un triangle isocèle PNQ, iiUKrit dtm.i un seç^meni cii-ci
laii-e moiiidie qu'un demi-ceivle, est plus petite que le cube de l'an:
qjd limite ce segment, divisé par 16 fois le rayon R [fig. 27a).
Cor cette aire, ayant pour es pression (428, 1°]
l'Q.PN.QN
THÉORÈME
476. La différence entre un arc de cercle ABA' moindre qu'une dcini- Hrconférenee et sa con/c AA' est plus petite que le cuhe de l'arc dU'ité Dur i^fois te carré du rayon [fig, '-tj-i).
Désignons par n l'arc ABA', par c sa corde &A' et en général pur r la corde de l'arc -j-
B étant le milieu de i'arc ABA', l'aire du segment ADB a pour nu sure (457)
R fa <\ R,
346 (iÉOMiîTiUE tlam;.
D'autre part, si l'on prend le milieu D de l'arc AB, puis les milieux E et E, des nrcs AO et DB, ot ainsi de suite, et si l'on di^sîgne respectivement par /,, t , les aires dos triangles ADB, AEO, , . ., l'aire du segment aéra la liniUe de la somme
Donc, conîïïio, d'après lo lemme prâcédeul (473), on s
Pour prÉsentor une application de cette formule, cherchons, par exemple, fjuel doit être le rayon R d'an cercle pour que la différence entre iin arc de 60 mètres et sa corde n'atteigne pas i millimètre.
!! suffit, d'après la formule Çi), que ïl satisfasse à l'inégalité
(iû' ^ 1
I.c rayon du cercle devra donc ètro au moins égal à 3 kilomètres. Heniarf/iie. ~ La formule (1) répond à la formule trigonométrique
En effet, si l'on suppose R ^- 1 et a = 1
puisque, dans le ccixie de rayon i, ie siniis d'un nrc t corde de l'arc dnuble ; el, si l'on substitue Ces valeurs c on obtient la relation (a).
{ la moitié de la ns lu relation ([),
m. — Sur les maximums et les minimuins des figures planes. ■
ières recherches, par des figures. En 1782, Jfgmnrum) a j Grecs jusqu'à erreurs de ses
477. On attribue à l'École de Pythagore les premiÈi voie synthétique, sur les maximums et les minimums di Lhuilier {De i-elatione mutuâ capacitatis et terminoni résumé toutes les découvertes faites sur ce sujet depuis R. Simpson; il a corrigé avec une admirable sagacité le devanciers et accru considérablement par ses propres découvertes !e domaine de cette théorie. Enfin, en 184^, Stelner, dans deux Mémoires {Journal de Crellc, X. XXiV), vérilables chefs-d'œuvre de Géométrie synthétique, a fait connaître, pour la recherche des masimums des figures planes, cinq méthodes, dont les deux premières s'appliquent à la sphère. Nous exposerons ici la première de ces méthodes, qui surpasse d'ailleurs las outres en élégance et en généralité.
THÉORÈME, d78. Entre tous les triangles isopérimétres et de même hass AB , le triangle isocèle ACB est an miKimam {Jîg. 273).
Fi[[. 273.
Eli effet, soit ADBun triangle non isocèle construit sur labaseÂB, audessusd'elle et tel que AD+ DR = AC-i-CB. Les triangles ACB, At)B, ayant une partie commune AEB, il s'agit de prouver que le triangle BED est moindre que le triangle AEG. Or si î'on prend sur BA et sur EC, EF = EB et EG = ED, les triangles FEG, BED, sf ront égaux, et il suffira de fuira voir que le triangle FEG est compris dans AEC, c'est-à-dire que le point F tombe entre E et A, et le point tï entre E et C,
D'abord F tomhe entre E et A; car l'angle p, égyl à a, est supérieur à 7; donc EA est plus grand que EB ou EF.
En second lieu, 6 Lomba entre E et C. ; il suffit pour \a prouver d'établir rinégahIÉ
