FG + GS < FC -(- CE

3^8 «ÉOMÉTRITi l'LANE.

OU, en ajoutant AF -i- FE de port et d'autre,

AV -(- FG4-GE + FE < AF ^i- FC -i- CE + EF;

EG = ED, FG = BD, EF = EB; l'inégalité prâcâdciite ne diffère donc pas do

AD -I- Dit ou AC -<- Clt < AF + FC + CB, c'est-à-diro de l'inégalité

AC<AF-i-FC, qiii est évidente.

479. Réciproquement, entre tous les triangles de même base et de mémi: aire, te triangle isocèle Q a le périmètre miniiiium.

Ea effet , soit U un triangle non isocèle ayant la même base et la mémo aire que G, et G, un triangle isocèle ayant la même base et le même périmètre (jueXJ; d'après le théorème précédent, G, sera plus ^rand que U, c'est-à-dire que G ; or, de deuï triangles isocèles construits sur la même base, celui qui a l'aire la plus grande a le périmètre le plus grand ; donc le périmètre do G„ c'est-à-dire le périmètre de U, est plus grand que celui de G.

Nous supprimerons dans ce qui suit les démonstrations des réciproques ; CCS démonstrations seraient toutes analogues à la précédente. Corollaire.

480. Entre tous les triangles de même périmètre, le triangle éi/iiilatéraL est un maxiimini; car la triangle maximum correspondant au périmètre donné doit être isocèle, quel que soit celui de ses côtés que l'on prenne pour base.

Réciproquement, entre tous les triangles équivalents , le Itiangle éijidlatérnl a le plus petit périmètre.

THÉORÈME

481 . Entre tous les triangles construits ni'cc deux côtés, celui dnns lequel ces deux côtés sont h angle droit est un mcuciinum.

En effet, si l'on prend l'un des cûlés donnés pour base, la hauteur est moindre que l'autre côté donné, à moins que ce second côté ne soit perpendiculaire an premier; dans cette position, la hauteur est maximum, et par suite l'aire l'est aussi.

CoROLLAiRE.

482. SiUre tous les triangles dont la somme de deu^ côtés est donnée, celai dans lequel ces deux côtés sont à la fois égnux et à angle droit es/

En effet, que l'on répartisse coramo on voudra ia somme donnée sur les deux côtés, le triangle maximum sera toujours celui dans lequel ces deux côtés seront perpendiculaires entre eux; il ne reste donc plus qu'à comparer Ses triangles rectangles dont la somme des côtés de l'angle droit est coustante. Considérons un de ces triangles rectangles P et sur sou hypoténuse construisons un triangle isocèle Q dont les côtés égaus aient la mémo somme que les côtés de l'angle droit de P; enfin, désignons par H le trian^ile isocèle dont les côtés égaux auraient la môme longueur que ceux de Q et seraient de plus à angle druit; on aura, par ce qui précède, P < Q et Q < E ; il on résulte donc R > P.

THÉORÈME

483. Enti-e toutes les figures planes Isopérimètres , le cercle cal un mtixinmm [fig. 374).

L'aire d'une figure do périmètre donné peut évidemment devenir aussi Ijctite qu'on veut; mais elle ne peut gi-andir indéfiniment, puisque celte figure reste forcément comprise dans l'intérieur du cercle décrit d'un point de son contour comme centre avec un rayon égal à la moitié du périmètre donné. Entre toutes les figures planes isopérimetres, il y a donc une figure maximum, ou plusieurs figures maximums de différentes formes et de même aire.

Fig. 57^.

D'ailleurs, toute figure maximum de périmètre donné est convexe, sar.s quoi on pourrait agrandir son aire sans changer la loîigueur de son contour.

Cela posé, soit El'Gll une figure maximum ayant 1' périmèlre donné. A tout point A pris à volonté sur son conio éj nd un autre point B de ce contour, tel que la droite AB dii e le pé n èl e n doux parties égales. Les aires A1j:FB,AHGB, devront él e<T, le s ns poi,en remplaçant la plus petite d'entre elles par !a f e sy et q e par rapport à AB, on obtiendrait une figure totale do même pé met e i le la première et d'aiie plus granile, de sorte que la p em è e f u e ne serait pas un maximum comme on l'a supposé.

Il résulte de lit que, si dans une figure n a num ErGH de périmètre donné on remplace la partie aa-dessous de MJ pa unep tio symétrique

gpjo r.ÈOMfiTRii; ri.ANiî.

de celle qui est au-dessua de cetto droite, la nouvelle Êgure totale sera

encore une dea figures maximums.

Raisonnons actuellement sur cette nouvelle figure ; en d'autres termes, admettons que la partie AUGB soit symétrique de AEFB par rapport à AB. Soit C un point quelconque du contour AEFB; prenons son symétrique D par rapport à AB et menons CA, AD, m, BC. L'angle AC8 sora droit; car si les angles ACB, ADB, n'étaient pas droiiâ, on pourrait construire avec les mêmes côtés CA, AD, DB, BC, un quadrilatère «7^^ dans lequel les angles 7* et ^ seraiont droits ; ce nouveau quadrilatère serait plus grand que l'ancien (481 ), et en plaçant respectivement sur les côt& ay, yP, Sp, ciS, les segments AEC, CFB, BGD, DHA, qui sont actuellement sur CA, BC, DB, AB, on aurait une figure totale ayant le même périmètre que AECFBGDHA et une aire plus grande, de sorte que cette figure AECFBGDHA ne serait pas un maximum comme on l'a supposé. Donc, de lout pointe du contour AECFB, on voit la droite AB sous un angle droit; par suite, ce contour est le derai-cercle décrit sur AB comme diamètre.

Ainsi, si une figure de périmètre donné est masimum, sa moitié ACB, prise à partir d'un point quelconque A de son contour, est un deni!-cerc!e. La figure totale est donc un cercle.

Donc, enfin, il n'y a qu'une seule figure masimum do pérîmÈtro douné, et cette figure est un cercle.

Steiner donne à ce tliéorômo le nom de théorème principal, parce que sa démonstration renferme les principes les plus essentiels relatifs à la plupart des questions de mosiraums dans les figures planes [ou Kphfi-

THÈORÈME.

■484. f" Si le périmèlre d'une figure se compose d'une droite de longueur arhiimire l et d'une ligne de forme arbitraire L, et si en même temps la longueur de la ligne L ou l'airû de lafigta-e est donnée, celle-ci est un maximum ou la ligne L est un minimum, quand cette figure est un demi-cercle.

Toute figure comprise dans ce tliéorème peut être considérée comme la moitié d'une figure symétrique, dont la droite / est l'axe de symétrie, et dont le périmètre, égal à aL, est donné; mais l'aire de la moitié est nécessairement un maximum, des que la figure entière en est un. L'énoncé est donc une conséquence du théorème principal. Il s'ensuit en particulier ; qw'cntre Ions les segments de cercle à arcs égaux ou à nircs égales, c'est le demi-cercle qui a l'aire la plus grande ou l'arc le plus petit.

a° Entre toiUes les figures dont le j}àrimètre est composé d'une droite donnée a et d'une ligne prise à volante L, le segment de cercle a la plus grande aire pour des longiieicrs égaies de la ligne L, et ta plus petite ligne L quand les aires sont égales.

LlVfiK IV. — LÉS AîfiE3. 35l

a ligne L de forme quelconque, et qu'elle compose avec lu, droite a le périmètre do lu figure nL; on peut toujours construire sur « un segment de cercle dont l'arc « soit égal à L, a et L étant situés du même e6tii do ir. Complétons le cercle, et désignons l'autre arc par § ; alors le cercle de périmèlre k -i- p est plus grand que la figure limitde par L-H p; ainsi ca 4-«p> «L + af; donc iia>aL.

On diiduit de ce théorème celte règle générale :

Dans toute Jîgare dom l'aire doitéire un iiinximum sons des conditions quelconques, chaque partie du périmètre, qui est libre d'avoir ii/ip formc quelconque entre dmix i/nints donnés, doit être un arc de cetrle.

THÉORÈME

485. i" Un polygone tfe côtés donnes est maximum lorsqu'il est inscrijitible au cercle.

Observons d'aliord qu'on peut foiijours, aveo des eûtes donnés a, b, [,■,..., f, dont le plus grand a est moindre que la somme de tous les iiutres, former un polygone convoxe inscriptiblo, ot un seul. En effet, décrivons un premier cercle 0 assez grand pour que, en portant les unes à la suite des autres, à partir de Vue des points A de ia circonférence, des cordes AB = n, BC = ^, . . . , LM = /, l'extrémité M de la dernière corde n'atteigne pas le point À. Le centre 0 étant d'abord silué dans le segment BCMÂ au-dessus de Al), supposons que ce centre s'abaisse d'une manière continue en décrivant la droite 02 perpendiculaire sur le milieu de ÂB. L'are BCMA de la eirconféience variable qui a pour centre 0 et qui passe par A et B décroîtra, et comme il a pour limite la droite AB, c'est-à-dire une longueur moindre que 6-i-c-i-. . .-+- /, on voit que l'extrémité M de la ligne brisée inscrite BC. . -H s'approchera du point A, et l'altdndra pour le dépasser ensuite. Il y aura donc une position du centre 0 et une seule, pour laquelle la ligne brisée ABC. . . M formera un polygone inscrit, comme nous l'avons annoncé.

Cela posé, soient S un cercle et P un polygone inscrit de câtés donnés a l>,c,...,l;V' étant un polygone quelconque formé avec les mêmes câtés, ajoutons à ce polygone P', sur chacun des eûtes, les segments circulaires qui surmontent les côtés correspondants du polygone inscrit P. Un obtient ainsi une figure S' terminée par des arcs circulaires, et dont le périmèlre est égal à la circonférence du cercle S. On aura donc (483) S > S', d'où, en retranchant de part et d'autro les segmcnls circulaires qui surmontent les côtés, P > P'.

2° Entre tous tes polygones isopérimètres d'un même nombre de côtés, le polygone régulier est un inaxinnmi; et réciproquement, entre les périméti-es de tous les polygones équivalents d'un même nombre ik colis, celui du polygone régulier es

35^ GÉOflÈTLUE l'I.lNE.

En effet, le maximum patmi les polygones isopérimèlres de n côtés doit d'abord avoir tous ses côtés ^ux entre eux ; car si deux côtés consécutifs AB et &C étaient inégaux, en remplaçant le tmngle ÂBC par im triangle isocèle AB'C construit sur la même base et de même périmètre, on aurait (478) une figure isopériraètre de n côtes et daire plus grande. Par suite, les côtés du polygone sont donnés et égjux chacun à la //*"' j>artie du périmètre ; de plus, en vertu de la première (lartie du théorème qui nous occupe, le polygone maximum doit Être iiiscriptiblo au oercle; Donc, enfin, le polygone maximum, devant êtie ? la fois équilatéral et inscriptible, est régulier.

CoROLl.AinB.

486. D'après cela, quand on cherchera quel polygone a l'aire maximum pour un périmètre constant, ou le péiimètro minimum pour une aire constante, le nombre des côtés étant variable, on n'aui'a i^u'à s'occuper des polygones réguliers, et l'on trouvera la loi suivante :

Les aires des [yolygones réguliers isopérimèii-es forment une série croissante, qui commence par le triangle et se termine par le cercle; et les périmètres des polygones équivalents forment une série décroissante, ù jimtir da triangle jusqiâau ceivle.

En effet, deux polygones réguliers isopérimèlres d'un nombre de côtés différents étant donnés, par exemple un pentagone ABCDE et un quadrilatère ahcd, on peut considérer ce dernier comme un pentagone dont l'un des côtés serait nul, ou bien, en prenant arbitrairement un point e sur un des côtés de ce quadrilatère, par exemple sur ad, le considérer comme un pentagone ahcde, dont l'un des angles e serait égal & deux angles droits; le quadrilatère régulier peut doue être regardé comme un pentagone irrégulier ; donc son aire est plus petite que colle du pentagone régulier ABCDE.

yGoosle

SUK LA ÎJÉOMÉTaiS PLANE.