LA LIGNE DROITE

§|I, II, EL — D33 angiea.— aea triangles. — ■ Bsa perpsEdicnldres et des obliges.

■1. Êtantdon!i6osquatredroiteaOA,OB,OC,OD,isauead'iinm6mepomtO, si les angles DOA, BOC, sont égaux entre eus, ainsi que les angles AOB, COD, les côtés OA ot OC sont en ligne droite, ainsi que les côtés OB et OD,

2. Le périmètre d'un triangle est plus grand que la somme des droites qui joignent un point intérieur quelconque aux trois sommets, et moindre que le double de cette sommo,

3. Une médiane quelconque d'un triangle est moindre que la demisomme des deux côtés issus du m&me sommet, ot plus grande que la moitié de i'esoès de cette somme sur le troisiènie côtd.

4'. Le périmètre d'un triangle est plus grand que la somme de ses trois médianes et moindre que lo double de cette somme.

5. ABC étant un triangle quelconque, on prsi-d sur AB, prolongé s'il le faut, une longueur AC égale à AC ; on prend de même sur AC une longueur AB' égale à AB; on tire B'C qui coupe EC en 1 : démontrer que la droite AI est la bissectrice ds l'angle BAC.

6. Si, d'un point A pris hors d'une droite XY, on mène sur cette droite la perpendiculaire AB et les obliques AC, AD, d'un même cûté, telles que BC = CD, l'angle BAC est plus grand que l'angle CAD.

7. On dit que deux pointa A et A' sont symétriques par rapport à une droite indéfinie XY, lorsque cette droite XY est perpendiculaire sur ie milieu de AA'. Démontrer d'après cette définition : 1° que, si A' et B' sont les symétriques par rapport à XY de deux points quelconques A et B, les deux droites symétriques AB et A'B' sont égales entre elles; 1° que l'angle

R. etBŒ C. — Tr. de Gcom. (I" Purtie). q3

354 GÉOMÈiRir: pi.ank.

CAD dn deux droites Aii et ÂC est égal à l'angle C'A'B' de leurs symélii-

quesA'B'ciA'C,

8. Parle somniel A d'un triangle ABC, on mène la droi te indéfinie XY perpendiculaire sur la bissectrice de l'angle A, Démontrer que, ai M est un point quelconque de XY, le périmètre du triangle BMC est plus grand que celui du triangle donné ABC.

9. Les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés d'un triangle concourent en un mâme point.

iO, Les bissectrices des trois angles d'un triangle concourent en un même point. — La bissectrice de l'un dos angles et les bissectrices des suppléments dos dons autres angles concourent aussi en un môme point.

g IV. — Des parallèles.

11. Si deus droiles égales AB et CID, comprises ontrs deus parallèles AC et BD se coupent en un point 0, on a AO = OC et OB = OD.

12. Si par le milieu D du côté AB d'un triangle ABC on mène «ne parallèle DE au côté BC, la droite DE passera par îô milieu E de AC et sera égale à la moitié de BC, — Réciproquement, !a droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté et égale à sa moitié.

13. Trouver le lieu des milieux dos portions do droites qui vont d'un point donné à une droite donnée.

14. Étantdonnéun point à i'intérieurmi à l'extérieur d'un angle, mener entre les côtés de l'angle une droito qui soit divisée par ce point ou par l'un des côtés de l'angle en deux parties égales.

18. Un triangle quelconque est le quart de celui qu'on obtient en menant par chacun de ses sommets une parallèle' au côté opposé. Chaque côté du nouveau triangle est le double du côté correspondant du triangle donné.

16. Les trois hauteurs d'un triangle concourent en un même point

17. Déduire du résultat précédent un procédé pour mener par un point donné une droite qui aille passer par le point de concours, supposé inaccessible, de deux droites données.

18. Les trois médianes d'un triangle concourent en un même point, situé au tiers de chacune d'elles à partir du côté correspondant.

19. Dans un triangle, la plus petite médiane correspond au plus grand côté. — Conséquence.

QuiîSTioris raoposÉES. 350

20. Dans un Iriani^le, le point de concouru dos perpaii dieu la ires ékwâos sur los milieux des côtés, le point de coQcoura des trois médianes et celui des trois hauteurs, sont en ligne droite, et la distence du premier point au second est moitié de la distance du second point au troisième.

21. Si, par le point d'intersection 1 des bissectrices des angles B et C d'un triangle ABC, on mène entre les côtés de l'angle A ia parallèle ME àBC, la droite DE sera égale à la somme de BD et de CE. Si, parle point d'intersection I' de la bissectrice de l'angle B et de colle du supplément de l'angle C, on mène entre les cotés de l'angle A ou de son opposé par le sommet la parallèle D'I'E' à EC, ia droite D'E' sera égale à la diffévenc« de BD' et de CE'. — Conséquences.

22. Des exli'émités A et B et du milieu C d'une droite AB, on mène dans une direction quelconque des droites parallèles AA', BB', CC, jusqu'à leur rencontre avec une droite indéfinie XY. Déroontrer que le point C est le milieu de A'B', et que la parallèle CC est égale à la demi-somme ou à la demi-différence des parallèles AA' et BB', suivant que les points A et B sont situés d'un même côté ou de part et d'autre de XT.

S3. La somme des distances d'un point quelconque de la base d'un triangle isocèle aux deux autres côtés est constante. — Qu'arrive-t-il lorsque le point considéré est pris sur le prolongement de la base?

24. Trouver le lieu géométrique des points dont la somme ou la différence des distances à deus droites fixes est constamment égale à une longueur donnée.

25. La somme des distances d'un point pris à l'intérieur d'un triangle équilatéral à ses trois côtés est constante. — Qu'arrive-t-il lorsque le point considéré est extérieur au triangle î

26. AX étant une droite quelconque menée par le sommet A d'un triangle ABC, et BE, CP, étant les perpendiculaires abaissées des points D et G sur cette droite AX, démontrer quo le milieu D de BC ost à égale distance des po nt E et F,

27 Don n rer i" que si deux angles ont leurs côtés respectivement parallèli,'! leurs bissectrices sont parallèles ou perpendiculaires entre ellei i que i deux angles ont leurs côtés respectivement perpondiruh res leurs b sectrices sont perpendiculaires ou parallèles entre elles,

28, Déterminer sur l'un des côtés d'un triangle un point tel, que les langueurs interceptées par les deus autres côtés sur les parallèles menées (le ce point à ces mêmes côtés soient égales entre elles.

29. Étant donnés deus points A et B et une droite XY, trouuer sur cette droite un point M tel que la somme AM -y BM soit un minimum.

335 GÉOffiÉTBIE PJ-iHK.

30. Élanl rfonnéB doux points A et B et une droile XY, trouver sur Rette droite un point M tel que la différence BM — AM soit ur

31. Troaversur nn côti d'un triangle «n point tel que la 5i distances ans deux autres cûiés soit un minimum.

m. Trouver dans la pian d'un triangle «n point tel cjue i: trois cûlôssoitiin minimum.

jî V, -- Somma cSes angles d'ua polygone.

33. Étant donnés iin triangle ABC et im point 0 pris dans son intériï;ur, dûmonlrer que l'angle SOC est toujours plus grand que l'angle BAC du triangle.

34. Un angte d'on triangle est droit, aign ou obtus, suivant que la médÎBEe issue du sommet do cet angîe est égale, supérieure ou inférieure à la moitié du côté opposé. — Béciproques.

35. AD et BC étant deux parallèles coupées obliquement par AB et perpendiculairement par AC, on mène Ciitre ces deux parallèles la droite BED qui coupe AC en E, de manière que ED=^^AB t démontrer que l'angle DBC est le tiers de l'angle ABC.

36. Si, d'an point A pris hors d'une droite XT, on mbw sur cette di'oile ïa perpendiculaire AB et les obliques AC, AD, AE, de manière que CCS obliques soient situées d'un môme cùté de AB et que les angles BAC, CAD, DAE, soient égaux, on a BC < CD < DE.

37. Soient uïi triangle ABC, et AO, BO, CO,les bissectrices de ses angles ; feO prolongée coupant le côté EC en D, et 01 étant la perpendiculaire menée du point 0 sur BG, démontrer que l'angle BOD est égal â l'angle COi.

38. L'angle formé par la bisBectrico de l'angle A d'un triangle ABC et par ta perpendiculaire menéo du sommet A sur îe côté BC est égal à la demi-dlfférer.ce des angles B et C.

39. La différence entre les deux angles aigus d'un triangle rectangle est égale àVangls formé parla hauteur et la médiane issues du sommet de l'angle droit. — Si Von rapproche ce résultai du précédent, quelle conclusion peut-on en déduire?

Âd. Si l'on mène les bissecirices des angles extérieurs d'un triangle ABC, les trois triangles partiels et le triangle total qu'elles déterminent autour du triangle donné sont équiangles. Ciiaque angle du triangle ABC a pour supplément le double de l'angle qui lui est opposé dans le triangle total.

QUESÏIOKS 1>ROPOSÈÉS. ^07

41. Dans un triangle ABC, on prend eur le côté AB et sur son prolongement AD = AE = AC, puis on joint !o sommet C aux points D et E. Démontrer que l'angle E est la moitié de l'angle A du trianjjle ABC, et que l'angle DGE est droit.

42. Dans un triangle ABC on mène, jusqu'au côlé BC, une droite AD faisant avec la câté AB un angle égal à l'angle C et une droite AE faisant avec le côté AC un angle égal à l'angle B. Démontrer que le triangle DAE est isooèlo,

43. Dans un triangle rectangle, si l'un des angles aigus est double de l'autre, l'hypoténuse est double du pius petit cûté. — Réciproque.

44. Dans un triangle quelconque ABC où l'angle B est doublede l'angle C, on mène AD perpendiculaire sur le côté EC ; sur AB, prolongé ou noo suivant que l'angle Best aigu ou obtus, on prend BE égal à BD, puis on lire la droite EDF qui coupe AC au point F. Démontrer : i" que les longueurs FD, FC, FA, sont égales et que les triangles ABC, AFE, sont équiangles; a" que le câté AB est égal à la difVérence des segments DC et DB de la base BC si i'angle B est aigu, à leur Bonime ai l'aBgle B est obtus

45. L'angle des bissectrices de deus angles consécutifs d'un quadrilatère convexe est égal à la demi-somme des deux autres angles du quadrilatère. L'angle des laissée trir.es de deux angles opposés est égal à la demidifférence des deus autres angles.

46. Les bissectrices des angles formés en prolongeant jusqu'à leur rencontre les côtés opposés d'un quadrilatère convexe se coupent sous uu angle égal à la demi-somme de deux angles opposés du quadrilatère.

g VI. - Dn parallélogramma.

4T Deu\ qua irilatèroa couvexts sont eË;aux lur^qu ûa o it un angle égal et leurs quatre côtt* é^aux chicun a Uiacun et disposas de h mémo maiièie Énoncer le théorème coirespondinl poni le cas de deux parallclogiammes de deux ieL.tanBlB8, de deux losanges, de deux carrés

iS Deux trapèzes sont égaux lorsqu ih oi t leun quatre cotts éga ix chacun à chacun et disposés de (a même manière.

49. Toute droite passant par le centre d'un parallélogramme le divisa en deux quadrilatères égaux.

50. Tout quadrilatère ost la moitié du parallélogramme que l'on obtient Ml menant par les extrémités de chaque diagonale des parallèles à l'autre

358 CÛOilÈÏRIE PLXNE.

diagonale. — Déduire de ce tliôorènie que doux quadrilatères ont même surface lorsque leurs diagonales sont respectivcmcnl égales et so coupent sou 3 le mùme angle.

51. Si Von niÈnela droite DE qulioînt les milieux des cûtds AB et AG da triangle AJîC et, par les pointa D et E, deus parallèles quelconques DJi', ËG, jusqu'à la rencontre du côté BC, lo triangle ADE est le quart du triangle ABC al le parallélogramme DEGF en est la moitié.

52. Les di-oites qui joignent successivement les milieux des eûtes d'un quadriUtère forment un paralléiogramme, moitié de la Ggure primitive. — CoTi séquence relative aix droites qui joignent les milieux des côtés du quadrilatère.

53. En divisant arbitrairement, mais do la môme manière, les côtés û'ua carré, et en Joignant successivement les points de division, on forme uo nouveau carré inscrit dans ie premier.

54. Étant donné un parallélogramme ABCD, on prend en sous inverse, enr les côtés opposés AB, CD, deus loDguours AE et CF, arbitraires, mais égales; de même, sur les côtés opposés AD, BC, on prend en sens inverse 1^ iongueurs arbitraires AH = C&. Démontrer : i" que la figure EGFH est un parallélogramme inscrit dans le parallélogramme proposé; a" que iu centre du parallélogramme proposé est en même temps celui de tous les parallélogrammes qu'on peut y inscrire.

EiS. Le point de rencontre des droites qui joignent les milieux des côlés opposés d'un quadrilatère quelconque est le mdieu de la droite qui unit les milieux des diagonales de ce quadrilatère

56. Les bîôsectricea des angles d'un quadnlatere con/exe forment un second quadrilatère dont les angles opposés sont supplémentaires. Lorsque !o premier quadrilatère est un parallélogramme, le second est un rectangle doîiî les diagonales sont parallèles aux côtés du parallélogramme et égales à la différence do ses eûtes adjacents. Lorsque le premier quadriîatère est un rectangle, le second eat un carré,

37. Si, par un point quelconque de la base d'un triangle isocèle, on mène des paraîlÈles ans deux autres côtés, on forme un parallélogramme dont le périmètre est constant.

58. ABC étant un triangle rectangle et ABDM, ACEN, étant les carrés construits sur les côtés AB et AC de l'angle droit, des sommets D et E, opposés au sommet A, en abaisse des perpendiculaires DF, EG, sur l'hypoténuse BG prolongée. Démontrer : i° que l'hypoténuse BC est égale à la somme des perpendiculaires DF et EG ; 2° que le triangle proposé ABC œt la somme des triangles DFB, CEG.

QUESTIONS piiorosÈËS. 359

39. Démontrer que dans tout trapèze isocèle les angles opposés sont sQpplémeiiLaires.

60. Dans tout trapèze, ies quatre points, milieux des deux côtés non parallèles et des deus diagonales, sont sur une même droite parallèle aux deux bases du trapèze ; îa distance des points estrêmes est égale à la demisomme de ces bases; la distance des points intermiSdiaifes est égaleàleui demi- différence.

6i. ABCD étant un parallélogramme, Bel F étant les milieux des côtés opposés AB et CD, les droites BF et DE divisent ia diagonale AC en trois parties égales,

C2. Par le sommet A d'un parallélogramme ABCD, oa mène une droite i]uolconque AX. Prouver que la distance du sommet C à !a droite AX esl égale à la somme ou à la différence des distances des sommets B et D à la môme droite, suivant que AXest extérieure au parallélogramme ou le traverse.

63. D, E, F, étant respectivement les milieux des eûtes A3, BC, CA, d'un triangle ABC, 00 mène DG parallèle à la médiane BF jusqu'à la rencontre de EF prolongée. Démontrer que les trois côtés du triangle DGC sont respectivement égaux aux trois médianes du triangle ABC,

6-i. Démontrer qu'un polygone convexe, d'un nombre impair de c&tés, est déterminé quand on donne les milieux de ses câtés.

65. Parmi tous les triangles qui ont un angle égal compris entre doux cûlés variables dont la somme est constante, quel est celui dont le périmètre est minimum?

66. Étant données deux parallèles XY, X'T, et deux points A et B situés hors de ces parallèles et de côtés différents, trouver le plus court chemin de A en B par une ligne brisée AMNB telle, que la portion MN comprise entre les parallèles ait une direction donnée.

67. Sur un billard rectangulaire, dans quelle direction faut-il lancer îa bille pour qu'elle revienne au point de départ après avoir frappé successivement les quatre cùtés? — Quelle est la longueur du chemin parcouru alors par la bille? — Comment généraliserait-on la question? (On admet que, lorsque la bille frappe une bande, les deus droites qu'elle suit, avant et après le choc, sont également inclinées sur la bande).