LIVRE n

LA CiRCONFÉRENCE DE CEnCLR.

■j î. -- ïïea ans et âas coedea.

68. BtaiitdOTinfes la base d'un triangle et la différence des deux autres côtés, trouver k lieu des pieds des perpeudiculEÛres abaissées des extrémités de la base sur la bissectrice de l'angle au sommet. — Même question Rii remplaçant la différence des deux côtés par leur somme, et la biâsecfrice de l'angle an sommet par celle de son atipplément.

69. Si l'on divise la corde d'un arc de cercle en trois parties égales, les rayons qui passent par lis points de division partagent l'arc en trois parties, dont les deax extrêmes sont égales entre elles et moindres que la pariie in terra (idieire.

70. Par un point A extérieur à «ne circonférence O, on mène une sécante ACD dont la partie estérieare AC est égale au rayon ; on mène en outre le diamètre AOB : démontrer que l'angle COA est le tiers de l'angle DOB.

71. Étant donnés une circonférence et «n point dans son plan, quelle est la plus petite corde qu'on puisse mener par ce point dans la circonfé-

72. Si deux cordes égales se ooapent à l'intérieur ou à l'extérieur d'une circonférence, les segments déterminés sur ces deux cordes par leur point de rencontre sont respectivement égaus.

,G au cercle. — Fosïtioiks mutuelles de deux circonîéreuces-

73. Lu plus petite et la plus grjnde des droites qu'on peut mener entra deux circonférences passent par les centres de ces circonférences.

74. Étant donnés trois pomts non en li^ne droite, faire passer par un point donné ou décnre avec un rayon donné une circonférence dont les trois premiers points soient également dist^ntb.

QUESTIOBS PROPOSÉES. 36 F

75. Si deux cordes VB et CD e cjupent caiis un cercle, la somme AC -4- BD des arcs quelles intercej lent e t égale à la somme des arcs iiiterceplds par les deus. diamètres parallèles à. ces cordes,

76. Un cercle étant donné combien Tant il de cercles dis même rayoji pour l'eiitourci?

77. On donne un cercle de centre 0 et de rayon il, et un point extérieur A. Du point A comme centre, avec OA pour rayon, on décrit un arc BOC, et du point 0 comme centre a^oc aR pour rayon, on décrit un nouvel arc qui coupe le précédent en B et en C. On raèiia OB et OC qui rencontrent respectivement en E et en D la circonférence primiljve- Démontrer que AE et AD sont tangentes à celte circonférence.

78. AB étant un diamètre fixe d'un cercle, et CD une corde parallèlo à ce diamètre, on mène CB et DA qui se coupent en M, puis CA et DB qui se coupent en N, Trouver le lien des points M el N quand la corde CD se déplace parallèlement à elle-même.

79. Quel est le iJeo des centres des circonférences de môme rayon qui partagent une circonférence donnée en doux parties égales?

80. Quel est le lieu des centres des circonférences de même rayon qui coupent sous un angle donné une circonférence donnée?

§ m. — Mesure des angles.

81 A B C él nt trois points quelconques d'une circonférence, D !e oi 1 d 1 AB et E le milieu de l'arc AC, la droite DE coupe respect m t F t n G les cordes AB et AC. Démontrer que AF = AG.

8 A é t point quelconque d'un diamètre, B l'extrémité du rayon p p d 1 ce diamètre, on mène BA qui coupe le cercle en P,

p i t n t u point P qui couj>e en C le diamètre prolongé. Dém t q C\. = CP.

8d A B C A B', C, étant sis points pris sur une circonférence, de telle manière que AB soit parallèle à A'B' et AC à A'C, démontrer quo BC et CB' sont parallèles.

84, Les hauteurs AA', BB', CC, d'un triangle quelconque ABC, sont les bissectrices des angles du triangle A'B'C.

83. ABC étant un triangle inscrit dans un cercle, on joint le centre 0 au milieu D de l'arc BC, et l'on mène AD. Démontrer que l'angle ADO est la moitié de la différence des angles B et C.

86. Si par lo point A, commun à deux circonférences qui se coupent, on mène à vglonté deux sécantes ABC, ADE, les cordes BD et CE qui

joignent leurs esIrSmite se rciicontront sous un angle coaslant. — Dans le cas où ics daux. suçantes se conlbr-denE, comment faut-ii énoncer le tliéorème?

87. On donne doux circonférences 0 et 0' et un angle XA¥ situé dans leur plan. Le côté AX coitpo la circonférence 0 ans points B et C et îa clrconfereBce 0' aax points II' et C; le côté AY coupe la circonférence 0 en D et E, la circonférence 0' en D' et E'. Démontrer que les cordes BD, (:;E, B'D', CE', IndéGniment prolongées, forment un quaûrîlatôre inscriplible.

88. Si par !e point d'intersection 0 des diagonales d'un quadrilatère inscrit ÂBCD, on mène la corde EOF qui a sou milieu en 0, la partie de cette cordo interceptée entre les côtés opposés du quadrilatère sera aussi divisée par le point 0 en deus parties égales.

89. 0 étant le point de concours des hauteurs d'un triangle ABC et G le point où la hauteur AD rencontre le cercle circonscrit au triangle, on a OD = DG.

90. Étant donnés un triangle ABC et le cercle circonscrit, si du milieu de l'un quelconque des deiis arcs soua-tendus par le cûté BG on abaisse des perpendiculaires sur AB et sur AC, la somme des distances des pieds de ces perpendiculaires aux sommets du triangle est égale à la demisomme ou h la demi différence des côtés AB et AC,

91. Si par lo pomt A, milieu d'un arc BAC d'une circonférence, on mène deux cordes quelconques AD et AE qui coupent en F et en G la corde BC, le quadrilatère DFGE est inscriptîfale,

92. ABGD étant un quadrilatère inseriptible, on mène une circonférence passant par A et 3, une seconde par B et C, une troisième par C et D, et une quatrième par D et A, Ces quatre circonférences se coupent successivement en quatre points L, M, N, P, autres que les points A, B, C, D. Démontrer que le quadrilatère LMNP est inscriplible.

93. Si dans un quadrilatère ABCD on prolonge les côtés opposés A3 et CD jusqu'à leur rencontre E, puis les côtés oppos"5s AD et BC jusqu'à leur rencontre F, on forme une figure qu'on nomme qicudrilatère complet, et qui renferme quatre triangles ABF, ADE, BCE, DGF. Démontrer : 3," que les cercles circonscrilsàces quatre triangles passent par unmême point; a" que ce point et les centres des quatre cercles sont sur une mémo circoiiférence,

9i, Sur les trois côtés d'un triangle ABC, on construit extérieurement à ce triangle les triangles équilatéraus ABC, ACB', BCA'. Démontrer : i" que les trois droites AA', BB', CC, sont égales; 2° qu'elles concourent

GUKSTIOKS PROTOSÉES. 363

cil un mÈme point 0; 3" que, du point 0, on voit ëous lo môme anglo les trois cStés du triangle ABC.

95. Par un point lise pris dans le plan d'un cercle, on mène diverses coriies : trouver le lieu des milieus de ces cordus.

S6. Par i'une des extrémités d'un diamètre AB d'un cercle, on mène une corde quelconque AC que l'on prolonge d'une quantité CM égale àCB; quel est lo lieu des points M?

97. On donne un cercle et un point 9xe A situé dans son [ilan. ABC étant une corde quelconque issue du point A, on élève sur le milieu do cette corde une perpendiculaire IM égale à lA. Quel est le lieu des ;(oinls Mî

93. ABC étant un triangle équilatéral, quel est le lieu des points M, tels que MA = MB -h MGÏ

99. Trouver le lieu du point de concours des hauteurs dos triangles qui ont mémo base et même angle au sommet.

100. Une circonférence roule dans l'intérieur d'un cercle de rayon double : quel est le lieu décrit par un point de celte circonférence?

10S. Trouver le lieu des points tels, que si l'on abaisse de l'un d'eus des perpendiculaires sur les trois côtés d'un triangle fixe, les troij pieJs de ces perpendiculaires soient en ligne droite.

i02. Dans un triangle, on donne : la somme ou la différence de deu.t côtés et l'angle formé par ces cflté.s en grandeur et en position Irouver le lieu du centre du cercle circonscrit.

103. Deux circonférences 0 et 0' étant tangentes mtérieuiement au point A, et BC étant une corde de la grande circonférence langente en D à la petite circonférence, la droite AD est la bissectrice de l'angle BAC.

10-i. La circonférence 0 touchant les deus circonférences 0' et 0" aux points A et B, on prolonge la corde AB jusqu a on econd po nt le rencontre C avec la circonférence 0". Dément e que 1 deu yons O'A el O'C sont parallèles. La droite O'O" ren nt ant 1 s onfe e es 0' et 0° ans points D et B, démontrer en s nd 1 u q I ] û laîère ABDE est insc/iptible.

105, Le point C étant le milieu d'un ar AL I t D f oint

quelconque de cet arc, on a AC + EC> AD -f- BD.

g IV. ~ Construction des angles et des trianiilea.

108. Construire un triangle, connaissant: r Deux côtés et une médiane (deux cas);

364 GÉOaiÉIKIE PLANK

2" Un câié el deux mMianes (deux cas) ,

3" Les trois médianes;

li" La base, la différence dos deux autres câtés et !a diU'eretice des angles à la base ;

5" La base, un angie à la base, et la somme ou la différent* des deui! !nitres câtés;

6° La base, l'angle au sommol, et !a somme ou la différence des deux autres côtés,