Diviser un argio droit en trois parties égaies

lOe. Par un point donné 0, mener trois droites OA, OB, OC, de longueurs données et telles, que leurs extrémités A, B, C, Boicnt en ligne droite, et q«9 les intervalles AB el Bf. soieat égaus entre eus.

109, Soient ABC na tnangle, et ABDE, ACFti, BGHK, les carrés construits sur les trois côtés; connnissant les longueui-s des trois droites E6, m, KD, construire le triangle ABC.

g V. — Tracé des paraîlèles et ties

110, Décrire un cercle :

r Touchant deux droites données, et l'une d'elles en un point donné;

a" Touciiaiit ui!e droite el une circonférence donciSes, et cette circonférence en «n (joint donné.

m . Construire un triangle, connaissant ;

i" Les pieds dos trois hauteurs ;

•2," Un angle, une hauteur et le périmètre (deus ca;^) ■

3° Un côté, i'iin des angles adjacents et la longueur de lu bissectriw; de cet angle;

4" La somme de deux côtés et les angles;

5° Le périmètre et les angles;

6° Un angle, la longueur de sa bissectrice et l'une des hauteurs [àc.uy. cas);

7° Les angles et une hauteur;

8" La base, la somme des deux autres côtés et la différence des angles à la hase,

1 lâ. Construire un quadrilatère, connaissant les quatre côtés et la droite qui joint les milieux de deux côtés opposés,

113. Construire un pentagone, connaissant les milieux des cinq côtés.

lli. Par l'un des points d'intersection de deus cercles, mener une sécante commune qui ait son milieu en ce point.

QUESTIONS rnOPOSÊES. 3g5

■H5. Par un point donné, mener une droite qui tasse des angles égaus avec deux droites données,

HC. Tracer une dfoile de longueur donnée, dont les esirémités s'api>uient sur deux droites données, et qui soit parallèle à une droite donnée.

Même problème en remplaçant les deux droites par doux circonférences,

il7. On donne trois droitos issues d'un mÊme point, et un point pris sur l'une d'elles; mener par ce point une sécante qui soit divisée por les trois droites en deux parties égales.

118. Par un point eïtérieur à un oercle, mener une sécanic dont la longueur totale soit double de sa partie extérieure.

419. Inscrire dans on triangle un losange dont l'un dos angles coïncide avec un angio du triangle.

120. Tracer une circonférence qui passe & égale dislance dequaire points donnés, dont trois quelconques ne soient pas on ligne droite.

12i. Décrire une circonfi'sreQce de rayon donné, dont le centre soit sur une droite donnée et telle, que la somme des distances, maximum et minimum, d'un point donné à cette circonférence, soit égale h. uns longueur donnée.

522. Par un point pris dans le plan d'un parallélogramme, mener une sécante telle, que la partie comprise entre deux côtés opposés (prolongés s'il le faut) soit égale à la partie comprise entre les deus autres côtés.

§ ¥1. — Problèmes sur les tangentes.

123. Mener i un cercle une tangente qui fasse un angle donné avec une droite donnée.

121. Deux cercles étant donnés, mener uno sécante telle, que les cordes interceptées sur elle par les deux cercles aient des longueurs données.

125. Des sommets d'un triangle commo centres, décrire trois cercles qui se touchent deux à deux.

126, Décrire un cercle qui touclie deux cîrconléi'ences, et l'une d'elles en un point donné.

127, Construire un triangle rectangle, connaissant ;

1° L'un des eûtes de i'angie droit et l'excès de l'hypoténuse sur le troisième côté;

%" Les angles et l'excès de l'hypoténuse sur un dos côtés de l'angle droit.

128. Étant donnés un cercle et un angle circonscrit, toute tangente à l'arc qui tourne sa convexité vers le sommet détermine avec les côtés de

i'BngIc un Lriangiodoiit leiiôrimètrH est constant et dont le feoisième côté est vu d(i centre du cercle sous un angle conEtant. ~ Qu'arrÎTS-til lorsqae la tangente est menée par un point de i'ero concave?

129. Construire un triangle, connaissant son pàrimèlra, un angle en grandeur et en position, et un point du troisième côté.

130, Construire un triangle, connaissant ;

1° XTn angle, ainsi que la hauteur et la médiane issues de son sommet; 2" Va ailé, un angle et une iiauteur [cinq caa). 13!. Construire nii triangle ayant des angies donnés et tel, que ses sommets appartiennent & deus cireonffirences concentriques données.

132, Construire un triangle, connaissant la base, la différence des angles à la base, et sachant que le sommet doit être situa sur une droite donnée.

133. Dans tout triangle rectangle, le diamètre du cercle inscrit est égal à l'excès do la somme des deus côLâs de l'angle droit sur l'hypoténuse.

13i. Étant donnés un triangle, le cercle inscrit et !es trois cercles exinserite, démontrer : i" que les quatre points de contact qui se trouvent sur un mfime côté ( deus intérieurs et deus extérieurs ) sont deus à deux équidistants du milieu de ce côté; a" que la dislance d'un point de contact extérieur au plus éloigné des deus sommets situés sur le même côté est égale au demi-périmètre du triangle; 3° que la distance du point de contact du cercle inscrit à l'un des sommets situés sur le même côté est égale au demi-périmètre diminué du côté opposé à ce sommet; 4° que la distance dos deus points de contact intérieurs situés sur le côté considéré est ^le à la différence des deux autres côtés du triangle ; 5° que la distance des deux points de contact extérieurs est égale à la somme des deus autres côtés du triangle; 6° que la distance du point de contact du cercle inscrit à l'on des points de contact extérieurs est égale à celui des deus autres côtés du triangle qui aboutit au sommet situé entre ces deux points de contact.

133. Soient ABC un triangle, D le centre du cercle circonscrit, 0 celui du cercle inscrit, et 0', 0", 0", les centres des cercles ex-inscrits respectivement situés dans les angles A, B, C; démontrer : i" que le cercle circonscrit passe par les milious des droites Off, 00", 00"; a° que les quatre points 0, B, C, 0', sont sur un même cercle dont !e centre est sur la circonférence D; 3° que les points 0", B, C, 0", sont sur un même cercle dont le centre est sur la cIrconFérence D.

13C. Si l'on désigne [lar II le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC; par r celui du cercle inscrit, par r', r'\ r'", ceux dos cercles Oï-inscrila;

QUESTIONS riioposREs, 36^

par S, È', S", l9S perpendiculaires abaissées du centra du cercle circonscrit sur les côtés; par (a, ji', fi.', les portions de cps perpendiculaires comprises entre les côtés du triangle et la circonférence circonscrite, on a les relations

f( -1- [i' -I- fi° — aR — r,

La domière relation suppose que le centre D du cercle circonscrit est situé à l'intérieur du triangle. Dans le cas où le point D est extérieur, comment faut-il modifier cette relation?

137. Construire un triangle; 1° Le rayon du cercle inscrit, un angle cl. In bailleur Issue de son

sommet;

2° Un côté, la somme ou la différence des deus autres, et le rayon du cercle inscrit ou de l'un dos cerclas as-inscrita ;

3° Les centfes des trois cercles ox -inscrits.

138. Construire trois cercles égaux qui se touchent deus à deus et qui touchent intérieurement un cercle donné.

139. Étant donnés la base et l'angle au sommet d'un triangle, trouver les iieus des centres du cercle inscrit et des cercles eï-inscrits.