LES FIGURES SEMBLABLES
g L — Lignes proportionnelles.
156. DÉmonlrer que, si l'on mène entre les daux côt(^5 d'un triangle une suite de parallèles à la base, la métliane qui covrespond à cette base est le lieu des pointa d'iniersectlon 'des diagonales des trapèzes ainsi obtenus.
157. Trouver le lieu géométrique des pointa d'an plan également éclairés par lieus foyers lumineux placés dans ce plan, et dont les intensités à l'unité de distance sont représentées par les nombres a et b.
iS8. Trouver dans le plan déterminé par trois foyers lumineux le point également éclairé par chacun d'eus.
159. Trouver le lieu des points qui partagent dans un rapport donné toutes les droites comprises entre un point donné A et un cercle donné 0.
160. Trouver le lieu des points d'où l'on voit sous un même angle doiiué deux cercles donnés.
161. Trouver le point d'où l'oa voit sous un même angle donik'; tivis cercles donnés.
162. SoieiU deux droites quelconques AB et XY. Si AS est divisée au pointe dans lerapport — j et si des pointa A,B, C, on mène jusqu'à XY les parallèles AA', B3', CC, à une direction quelconque, on a toujours
CC'[w + /0= n.AA'-i-»;.BB'.
g II. — Lignas proportioanalies dans le corclQ.
163. Étant donnés un point A et un cercle 0, on mène à ce cercle par le point A une sécante ABC sur laquelle on prend un point M tel, qu'on ait AM.AC — ^■'; trouver le lieu décrit par lo point M quand la sécnnîe ABC tourne autour du point A.
H, el uii C. — Tr. de Géom. (l" Parlii')- 2^
J6L D'on point donné hors d'un oerole, lui mener une sécante telle, que îa cortie iiitarceptéo soit moyenne proportionnelle entre la sâcantis enliÈve et sa partie extérieure.
165. D'un point donné hors d'un cercle, lui mener une séoanle telle, que le produit do la sécante entière par sa partie intérieure soit égal à un carré donné lt^
166. Étant doimé un triangle obtusangle, mener du sommet de l'angle obtus au c6t6 opposé une droite dont le carré soit égal au produit des segments qu'elle détermine sur ce côté.
167. AB est un diamètre d'un cercle, CD une corde perpendiculaire à AB; par un point P pris sur CD, on mène une corde APQ ; démontrer qae le produit AP.AQ csl constant.
168. Si l'on joint le centre d'un cercle à un point d'une corde, le carré de ia droite obtenue, plus le produit des segments que le point choisi détermine sur la corde, est égal au carré du rayon.
169. Les cordes communes à un cercle fixe et à tous les cercles que l'on peut mener par deux points donnés, passent par un point lise.
170. Dans tout triangle, la demi-différonce de deux côtés est la moyenne propcrUormelle des distances du milieu du troisième coté aux points où ce côté est coupé par la bissectrice et la hauteur issues du sommet de l'angle opposé; de môme, la demi-somme de deux côtés est la moyenne proportionnelle des distances du milieu du troisième côté aux points où ce côté est coupé par la bissectrice du supplément de l'angle opposé et par la hauteur issue du sommet de cet angle.
171. Étant donnés un triangle ABC et le cercle circonscrit à ce triangle, en mène la bissectrice AD de l'angle A qui coupe BC en D et ie cercle circonscrit en E, et la bissectrice AD' du supplément do l'angle A qui coupe BC prolongé en D' et le cercle circonscrit en E' : démontrer que BE cstia moyenne proportionnelle de EA et de ED, et que BE' est la moyenne proportionnelle de E'A et de E'D'.
!72. On donne l'angle au sommet d'un triangle en grandeur et en position, et la somme des inverses des côtés qui comprennent cet angle : démontrer que la base du triangle passe par un point lise.
173. Deux droites se coupent à angle droit dans un cercle ou hors d'un cercle: démontrer que la somme des carrés des deux droiles opposées déterminées par leurs points d'Intersection avec la circonférence est égale au carré du diamètre, ainsi que la somme des carrés des quatie segments des deux droites données.
QUESTIONS PEOPOSEES. 3j i
17-i. Si, dans le problfeme précâdcnt, AB et CD sont les cordue interceptées par la circonK'rence 0 sur les deux droites données qui se coupent perpendiculairemenl en E, on a
Âb' + Cd' -i- 4 ÔË' = SOA.'.
nS. Soit un demi- cercle décrit sur AB; deux cordes quelconques AD et BG se coupent eu P : démontrer que
âb'' = ad.ap + bc.bp.
176. Dans im triangle quelconque ABC, soient M le milieu de la base BC, I son point de contact avec le cercle inscrit au triangle, li et K les points de rencontre de la hauteur et de la bissectrice issues du sommet A avec BC : démontrer la relation
t^[.m = MH.KI.
177, B, r, pi, p!, p3, étant !es rayons du cercle circonscrit, du cercle inscrit et des cercles ex-inscrits h un triangle quelconque, et d, Sj, S^, 3j, étaot les distances du centre dii cercla circonscrit aux centres (les cercles inscrit et ex-inscrits : démontrer les relations
R^ = t.'' + 2Hr = 5j— ?.Bpi = 8i-^Up;==S^ — aRp3 = '^'"^ ^""^"'"^ '■
178- Si ABCD est un parallélogramme, et &i l'on décrit un cercle passant par A et coupant respectivement en F, H, G, les côtés AB et AD et la diagonale AC, démontrer la relation
AB.Alf-HAD.A!i = AC.AG.
179. Étant donnés doux cordes concentriques, mener au plus polit ime tangente telle, que, si l'on joint respectivement les points A et B où elle coupe le second cercle avec deux points C et D donnés dans le plan des deux cercles, les droites AG et BD soient parallèles.
180, Deux cercles A et B se touchent en C; d'un point D quelconque extérieur à ces cercles, on voit sous le même angle les rayons AC et CC. 3i du point D on mène aux deux cercles les tangentes DE et DF, on a
181. Si, du sommet d'un angle A d'un triangle quelconque ABt;, o Mène une droite AB' anti-parallèle à AC par rapport à l'angle C, puis ur
3oa GÉOSlfiTKli! PLiKE.
ctroile AC anti-parallèle à ÂC par rapport. à l'anglo K, on obtient sur le troisième côté BC trois sogmenlsB'C, BC, CB', dont les deux extrêmes BC et CB' sont, l'un BC adjacent au côté AB, l'autre CB' adjacent au cÛtéAC; démontrer :
1° Que chaque côté da l'angle A est mir^en proportionnel entre le troisiÈme côté el. le segment quiîui est adjacent;
a" Que les deus droittis AC et AB' sont égales entre elles, et que chacune d'elles est moyenne proportionnelle entre les deux segments extrêmes BC et CB'.
182. Dans tout triangle, la somme des perpsndiculai centre du cercle circonscrit sur les trois côtés est égale à la somme des rayons des cercles inscrit et circonscrit.
'183. Par deus points donnés, faire passer v.n cercle qui coupe en deux parties égaies «ne circonférence donnée.
184. Si les bissectrices des angles à la base d'un triangle sont égaies, ce triangle est isocèle.
ISS. ABC étant un triangle quelconque, D le milieu de la base, E le pied do la hauteur abaissée sur cette base, L ie pied de la bissectrice de l'angle opposé A, enGn H et K les points de contact de BC avec le cercle inscrit au triangle et lo cercle es-inscrit doat le point de contact est entre U et C, démontrer les relations
