Dans un cercle donné, inscrira un triangle

r Tel que sa base soit parallèle à une droite donnée, ses deux autres côtés passant respectivement par deux points donnés sur cette droite;

a° Tel que sa base soit parallèle à une droite donnée, ses deux autres cdtés passant respectivement par deux points donnés d'une manière quolcnnque;

3° Tel que ses trois c&lés passent respectivement par trois points dor.oés d'une manière quelconque.

3gg GËÛIBËTEIÉ PLXNIi.

i277. Construire un triangle, connaissant le produit de deux côtes, la médiane relativo au troisième côté et la différence des angles adjacents à ce côté,

278. Construire un triangle, connaissant un angle, la hauteur relative au côté opposé et la somme ou la différence des deux autres côtés.

279. Par deux points donnés, mener à une circonférence donnée deux sécantes qui se coupent sur la circonférence, et dont les deux autres points d'intersection déterminant une corde parallèle à la droite qui joint les deux points donnés.

280. Étant données trois circonférences concentriques, construire un triangle semblable à un triangle donné et qui ait ses sommets respectivement situés sur les trois circonférences données.

281. Construire un carré, connaissant la somme ou la différence Je sa diagonale et de son côté.

282. Étant données deux droites qu'on ne peut prolonger, mener par un point donné une droite qui aille passer par !e point de concours inconnu des deux premières.

283. Mener par le point d'intersection de deux circonférences une sécante telle, que les cordes interceptées sur elle par les deux circonférences soient dans un rapport donné.

S8i. On donne deux droites et un point dans leur angle; déterminer sur l'une d'elles un point qui soit à la môme distance du point donné et de la seconde droite.

98.1. Partager, lorsque cela est possible, une droite donnée en deux parties telles, que la somme de leurs carrés soit égale à un carré donné.

286. Diviser une droite donnée en deux parties telles, que la somme de leurs carrés soit minimum.

287. Partager une droite donnée en trois parties telles, que la première et la seconde soient dans le rapport de deux droites données M et N, et la seconde et la troisième dans le rapport de deux autres droites données P et Q,

2S3. Déterminer le point dont les distances aux trois côtés d'un triangle sont proportionnelles à trois droites données.

289. Mener, par un point pris à l'intérieur d'un angle donné, une droite limitée aux côtés do l'angle et partagée par le point eu i.ioyenno et extrême raison.

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deux circonférences données.

g Vï. — Polygones réguliers.

296. En joignant de deux en deux les sommets d'un pentagone régulier on en prolongeant ses cfités de deux en deux, les points d'intersection obtenus forment intérieurement ou extérieurement un autre pentagone régulier.

297. Si l'on prolonge deux côtés AB et CD d'un polygone régulier de centre 0, séparés par un seul côté 8C, Jusqu'à leur rencontre en E, le quadrilatère AECO est inscriptible.

298. Prouver qu'on peut exécuter un pavage, soit avec des triangles équilatéraux, soit avec des carrés, soit avec des hexagones réguliers. — On no peut le l'aire en employant des pentagones réguliers ou des polygones réguliers de plus de six côtés.

299. On peut exécuter un pavage, soit en assemblant à la fois des carrés et, des octogones réguliers de même côté, soit en assemblant des triangles é^uilatéraux et des dodécagones réguliers de même côté, soit en assemblant dbs décagones et des pentagones réguliers de mérae côté.

300. Un polygone équilatéral inscrit dans un cercle est régulier. — Un polygone équilaiéral circonscrit h un cercle est régulier, si le nombre de ses côtés est impair.

301. Un polygone équiangle inscrit dans un cercle est régulier, si le nombre de ses côtés est impair. — Un polygone équiangle circonscrit à un cercle est régulier.

302. Si l'on rapporte un polygone régulier à deux axes coordonnés, les coordonnées de son centre sont respectivement les moyennes arithmétiques

ggj^ GÉOlîfiTREE !'L/.ri"E.

des cocrdonnéoa de ses différents sommcUpar rapport aus axes considérés.

— Application au triangle équilaléral,

303. Si des Bomroela d'un triangle équilatéral inscrit, on mène des parpendioulaircs sur un diamètre du cercle circonscrit, l'ordonnée qui tombe d'un côté de ce dianièire est égale 11 la somnie des deux ordonnées qui tombent de l'autre côté; de niênie, l'abscisse qui tombe d'un côté du eentro est égule à la somme dos deux abscisses qui tombent de l'autre côté,

304. La somme des distances d'un point pris à l'intérieur d'un polygone régulier aux m cûtÉs de ce polygone est égale à m fois l'apothème.

— Considérer le cas où lo point choisi est cstérieur.

305. Si d'un point P du cercle circonscrit à un triangle équilatérai ABC, on mène des droites à ses sommets, la somme PA ■+• PB ■+• PC est constante. — Si ABCP.A'B'G'P', sont deuDc cercles conceutriquos dans lesquels soient inscrits les triangles équilatÉraiix ABC, A'E'C, on a

AP'VBP''-i-â^''^ÂTVFPVcT'.

306. AB et AC étant les côtés du pentagone et du décagone régulier inscrits dans un carde dont le centre est 0, on mène la bissectrice do l'angle AOC qui coupe eu D le cété AB : (iémontrer la similitude des triangles ACB et ÂCD, ainsi que celle des triangles AOB et DOB, et en déduira la relation connue

âb'= acVoa',

307. Deus diagonales d'un pentagone régulier qui n'aboutissent pas au mémo sommet so coupent en moyenne ot oxtrôme raison.

308. Dans «n polygone inscrit d'un nombre de côté pair, !a somma des angles de rang impair ait toujours égale à la somme des angles de rang pair.

§ VII. — Problèmes sur les polygones réguliers.

309. Sur une droite donnée comme côté, décrire un octogone légulier. 3Î0. Inscrire un carré dans l'espace compris entre deux cercles sécants

3)1. Inscrire un triangle équilal^ral dans un carré donné, en plaçant l'un de ses sommets soit on l'un dos sommets du carré donné, soit au milieu d'un de ses côtés.

312. Sur une droite donnée comme- diagonale, décrire un parallélogramme dont les angles soient doubles- l'un de l'autre. — Déduire de la solution de ce problème un moyen d'opérer la trisection de l'angle droit.

Qui;sTiON3 riLOPOsËiiS. 3S5

313. Connaissant le côté d'un i)olygone régulier inscrit dans un cercle, calculer la côté da polygone r^ulier inscrit d'un nombre de côtés deux fois moindre. — Appliquer cette formule h. la recherciie du côté du pentagone régulier, connaissant le côté du di^cagone régulier.

314. Sur le diamètre ÂB d'un cercle 0, on construit un triangle équilatérai ABC; on divise AB en n parties égaies, et l'on joint le sommet C à l'extrémité D do la seconde division ; CD prolongée coupe le cercle en F, et l'on demande de calculer la corde AF. — Examiner les cas particulieis du «=3, 4, 6.

3t5. Trouver le lieu des points dont la somme dos carrés des distances aux sommets d'un polygone régulier est constante et égale a un carré donné.

31 6. Connaissant l'apolhÈmo du décagone régulier, calculer son côté et le rayon du cercle circonscrit.

317. Dans une ciiconféreuce 0, on trace les deux diamètres perpendiculaires AB et CF; du point D milieu de OC comme centre, avec DA pour rayon, on décrit on arc de cercle jusqu'à sa rencontre au point E avec le diamètre CF : démontrer que OE représente le eôlé du décagone régulier et AE celui du pentagone régulier inscrit.

318. Calculer les rayons des ceroles inscrit et circonscrit, au triangle équilatéral, au carré, au pentagone, à l'hexagone, au décagone et au dodécagone, en prenant pour unité le c6té du polygone régulier considéré.

319. Calculer l'apothème du pentagone, de l'hexagone, du décagone el du dodécagone régulier, en prenant pour anité le rayon du cercle circonscrit.

320. Connaissant le rapport du périmètre d'un polygone régulier insoiit au périmètre du polygone régulier circonscrit semblable, calculer les périmètres de ces deus polygones sn prenant pour unité le diamètre du cercle donné.

321. m étant le rapport des périmètres des polygones réguliers inscrit et circonscrit d'un même nombre de côtés, et m' le rapport des périnièLrfif; des pojygones réguliers inscrit et circonscrit d'un nombre de côtés double,

. défliôntrer la relation

322. inscrire dans un triangle équilatéral donné trois cercles égaux tangents entre eux, et déterminer leur rayon en fonction du côté du triangle.

r.. et HE c. — Ti: deGéom. (I" Paiiîe). 35

886 GËOMfiTHIE PLjVHII.

323. Inscrire dans un carré donné qualie cefcles égaux t.angenls entre eux, et déterminer leur rayon en lonction du côté du carré.

324. Inscrire dans un cercle donné m cercles égaux tangents eoire eux, et déterminer leur rayon en fonction du rayon du cercle donné et de la corde qni sous-tend la m''"" paitie de sa circonférence.

§ ViïS. - Mesure de ia circonférence-

32H. Dans ileiix oircoiifdreiiceii de rayons différurils, le rapport des angles au centre qui interceptent des ares de même longueur est égal au rapport inverse des rayons.

326. Si deux eirconférencos sont tangentes intérieurement à «ne troisième circonférence, et si la somme de leurs rayons est égale à celui de cette troisième circonférence, l'arc compris enti'O leurs points de contact sur la grande circonférence est égal ii la somme des arcs respectivement compris sur les circonférences intérieures entre leur point de rencontre le plus rappi'uolié de l^i grande circonférence et les mêmes points de eoiitacl:.

327. Démontrer que n- est compris entre 3 et 4; PT 1^ considération des périmètres de l'hexagone régulier inscrit et du carré circonscrit.

328. Quelle erreur commst-on en remplaçant la demi-ciroonrâreiin! d'un cercle jiar îa somme des cOtés du triangle équilatéral et du carré inscHtdans ce corrleî

329. Soient dans un cercio 0 le diamètre AB et la corde ÂC égale au rayon; menons le rayon OD perpendiculaire sur AC, et prolongeons-îe jusqu'à son point de rencontre en E avec la tangente en A; portons \ partir du point B sur cette tangente, et dans le sens EA, une longueur fiï\ égaie ù trois fois le rayon OA; puis menons la droite FB. Quelle erreur commet-on en remplaçant par cotte droite ia demi-circonférence OAÎ

330. Sil'ondéoritdeiis demi-cercles égaux sur lediamùlre d'un demicorcle donné, si l'on inscrit un cercle dans l'espace compris entre les trois (iemi-circonférences, le diamètre de ce cercle est à celui des cercles égaux dans le rapport de 2 à 3.

331 . Connaissant les longueurs «, b, c, des cordes de trois arcs formant onsomble la demi-circonférence, chercher de quelle équation dépend le diamètre s: du cercle considéré.

332. Évaluer le périmètre du polygone régulier de vingt côtés formé par les intersections successives des côtés du décagone régulier étoile.

QUIÎSTIONS ruOPOSÉEf