DtSmontrer los formules
Dans la clernièrB [ormiile, le nombre m, qu'il faut faire croître indérmimeril., est égal au nombre des radîcaus placfis sous le premier radical.
334. Soient p et p' les dcmi-périmèii-es de deus polygones réguliers inscrits dans lo certle de rayon i , le second polygone ayant deux fois plus de côtés que le premier. — Démontrer que l'expression
est une valeuî' de n- appi'othée par défaut, ot que l'erreur correspondaiïle .SI momdro qiio ^{p^- p)\
APPENDICE DU TROiSIÈME LÏVRE.
335. A, B, C, D, étant quatre points en ligne droite, on a, en grandcu r et en à'^na, la relati:i!i
AD. CD -t- ACDC -I- AD.BC = o.
33li. Si l'on désigna par p le premier dos six rapports anharmoniqi'es distincts
(ABCD), (ACiiD), (AD3C), (ABDC), (ACOB), (ADCB),
auxquels donnent lieu quatre points, A, B, C, D, en ligne droite, i<fs cinq autres ont respectivement pour valeurs
337. Si Jes points P et P' divisent harmoniqu ornent la droite AB, 0 étant 'e milieu de AB, I le milieu de PI", et M un point pris arbitrairement sur ÂB, on a
ftU'.ML>'+MA.HB = 2MS.M0.
338. La moyenne proportionnelle de deux droites est aussi la moyenna proportionnelle de leur moyenne arithmétique et do leur raoy^nno liormonjqne.
339. Si A,B, C, Del A', &',C\ D', sont deux sysLèraes de quatre poinla correspondants, situés sur deux droites distinctes L et L' et ayant rnSmc rapport anlmrmonique, les trois droites PB, PC, PD, issues d'un point qudconfjue P de AÂ', coupent rospeclivement les trois droites P'B', P'C, P'D', issues d'un outre point q\ielconque V de AA', en trois points p, y, S, iitués en ligne droite.
340. A, B, C, D et A', B', C, D', étant deos systèmes de quatre pointa correspondants, situés sur deux droiles L et L' qui se coupent en A, si l'on prend dans leur plan deux points quelconques 0 et 0', les droites OB, OC, OD, coupent respectivement les droites correspondantes O'B', O'C', O'D', en trois points p, 7, S, situés en ligne droite.
341. A, B, C, étant trois points d'une droite L, et A', B', C, trois points correspondante d'une autre droite L', prouver que les trois couples do droites AB' et A'B, AC et A'C, BC et B'C, se coupent en trois points X, (i, ï, situés en ligne droite.
342. Si les trois côtés d'un triangle tournent autour de trois pointa fixes situés en ligne droite, et si deux sommets glissent sur deux droites Hxes, le troisième sommet décrit une ligne droite.
343. Si les côtés d'un polygone tournent autour d'autent de points lixes situés en ligne droite, et si tous les sommets moins un glissent sur des droites fixes, le dernier sommet décrit une ligne droite; et il en est de même du point de rencontre de deux côtés quelconques non conligus.
344. Si les trois sommets d'un triangle glissent sur trois droiles fixes qui se coupent en un même point, et si deux de ses côtés tournent autour de deux points fixes, le troisième côté passe par un point fixe en ligne droite avec les deux premiers.
348. Si les sommets d'un polygone glissent sur autant de droites fixes qui concourent en un môme point, et si tous les calés moins un tournent autour d'autant de points fixes arbitraires, le dernier côté passe par un point fixe; et il en est de môme d'une diagonale quelconque.
346. Lorsque trois triangles homologiquesdenxà deuxont lemômeaxe d'homologie, les trois centres d'homologie sont en ligne droite ; et lorsque trois triangles homologiques deux à deux ont le même centre d'homologie, les trois axes d'homologie cencourent en un môme point.
347. Lorsqu'une corde d'un cercle tourne autour d'un point fixe 0, la somme des deux quotients qu'on obtient en divisant la distance de chaque extrémité de la coi-de à une droite donnée L, par la distance de cetlo corde à lu polaire du point 0, est constante.
QUKSTions rnoposfiEB. 889
3S8 Lorsque le sfimmet d'un angle eirconscrit à on cercle décrit une flioite L, la sommfl îles deux quotients qu'on obtient en divisant les distances de chaque côté de l'angle à un point fixe et au pôle de L est constante.
349, Les polaires des différents points de l'axe radical de deux cercles se coupent sur cet axe ; et réciproquement, si les polaires de chaque point d'une droite par rapport à deux cercles se coupent sur cette droite, elle est l'axe radical des deux cercles.
350 Le3 pôles de l'axe radical de deux cercles, pris par rapport à ces cercles, divisent harmomquement la droite qui joint leurs centres de simili lude,
3âl Si du centre de similitude de deux circonretences on leur mène deux sécantes, îeâ cordes qui joignent dans les deu\ circonférences les points d'intersection correspondants sont parallèles, et des huit points d'intersection obtenus, quatre quelconques (non situés sur la mfme se cante) se trouvent sur une même circonférence, pourvu que parmi le-" quatre points choisis il n y en ait pas deux homologues
332. Un cercle 0 inscrit dans un quadrilatère ABCD, touchant ses eûtes aux points E, F, G, H, si l'on joint le point d'intersection K des droitra EH et FG au centre 0, ia droite KO est perpendiculaire sur la diagonale AC.
333. Quand un quadrilatère est circonscrit i deux cercles, chaque ("iagonale coupe la ligne des centres en un point qui a la même polaire par rapport aux deux cercles.
354. Si l'on divise un quadrilatère en deux autres par une sécante quelconque, les points de rencontre des diagonales des trois quadrilatères sont trois points en ligne droite,
355. Le rapport anharmonique de quatre points d'un cercle est égal au rapport des produits des côtés opposés du quadrilatère inscrit déterminé par ces quatre points.
336. Trois cercles 0, 0', 0", étant donnés, en décrivant un quatrième cercle quelconque o> et on prenant les axes radicaux du cercle w et de chacun des cercles donnés, on forme un triangle ABC ; en décrivant uu autre cercle »', on obtient d'une manière analogue un second triangle A'B'C: démontrer que les triangles ABC, A'B'C, sont homologiques-
337. Lorsqu'une série de cercles ayant leurs centres sur une droite donnée coupent orthogonal eraent un cercle donné, leur axe radical commun est la perpendiculaire abaissée du centre du cercle donné sur la droite donnée.
3gci GÉOMÉTRIE PI,AM!.
358. -Les trois cercles déciils sur les trois diagonales d'im ciuadiilaLèra complet, comme diamètres, ont deux à deux le même axe radifaî tH coupent orthogonalement le cercle circonscrit au triangle formé par lus trois diagonales.
359. Lorsque deux triangles sont polaires réciproques par rapport à un cercle ïituô dans leur plan, ils sont homologîqnes,
360. Si la base d'un triangle est fisc, la somme ou la différence des deux antres côtés restant constante, la polaire du sommet par rapport à an cercle quelconque, ayant pour centre l'une des extrémiti^s de la base 'lounée, touche constamment un cercle fixe.
36i. ABC étant un triangle donné, et a, b, c, les projections des sommets A, B, C, sur les côlfe opposés, les trois couples de droite ab et AB, hir et BC, eu et CA, se coupent en trois pointa -j, a, p, situés sur l'axe radical des cercles circonscrits aux triangles ABC et obi:
362. Toute langon(e commune à deux cercles donnés est divisée barmoniquement par tout cercledont les axes radicaux avecrbacun descerclt's donnés se confondent.
363. Dans un cercle donné, inscrire un quadrilatère dont on connaît les trois diagonales.
364. Un triangle étant donné, construire un cercle tel, que chaque somlot du tnan-,le soit par rapport a i* c rcle le i oie du côLé opposé.
355 Décnre un cei de pissant [ ir un point donné U coupant orthogo- Tiaienent deux (ercles donnes
366 Étant donnés trois cercles en dcciire un quatr ème tel, que les trois axes rilicaux de ce cercle comparé successivement à chacun des tiois ]remier'i pnssent pir trois points donné»!
3ij7 Ct ni doniés SX [o nts A B L D E h sut une circonférence, marquer sur cette ligne un septième point X tel que les rapports a nharmoniquos (XAEC), [XDBF), soient égaux. — Mémo question en supposant les six points sur une droite donnée.
368, Étant donnés un polygone de n côtés et n points placés arbifrairement, insoriie dans ce polygone un autre polygone dont les n côtés passent respectivement par les n points donnés.
369. Étant donné un triangle coupé par une transversale, si sur chaque côté on prend le conjugué harmonique du point de renrontro de la transversale par rapport aux extrémités de ce côté, les droites qui joignent les trois points ainsi obtenus aux sommets opposés passent par un mémo
point. — En déduire le Uséorcine au n' Tilâ, relatif aux médîaiies d'un triangle.
370. Étant donné un triangle coupé par une transversale, si sur deus côtés on prend le conjugué harmonique du point de rencontre de la trans' versale jjar rapport aux extrémités du côté considéré, les deux points ainsi oblenus et le point où la transversale coupe le troisième côté sont en ligne droite.
371 . Un triangle ABC inscrit dans un cercle 0, étant coupé aux pointa •I, b, c, par une transversale, si a, p, y, représentent les longueurs des tangeiiLes menfics des points a, b, c, au cRrcleO, démontrer la relation
372. Quatre droites dans un même plan, prises trois à trois, forment quatre triangles, dans chacun desquels existe un point de rencontre deït hauteurs; démontrer que ces quatre points sont en lii^ne droite.
GÉOMÈTÎilE PLAHE.
