LES AIRES

g L — Mesure des aires des polygones.

373. Cliercher l'expression de l'aire d'un trapèze, on le considÉranl comme la diiiérence des deux triangles obtenus en prolongeant jusqu'à lour point de rencontre ses deux côtés non parallèles.

374. Étant données le.î bases et la liauteur d'un trapèze, calculer les aires des deux iriangles dont il est la différence.

!i75. L'aire d'un trapèze est égale au produit d'un de ses côtés non parallèles par la perpendiculaire abaissée du milieu de l'autre cûté sur le premier.

376. Par un point pris sur la bissectrice d'un angle, mener uno droite telle, que la partie interceptée par les eûtes de l'angle soit minimum ou qu'il en soit do mâme de l'aire àa trianele déterminé.

377. Dans un angle donné, mener une droite minimum qui intercepto un triangle dont l'aire soit équivalente à un carré donné.

375. SI, dans un triangle rectangle, i'un des angles aigus est égal à -^

d'angle droit, l'aire du triangle équilaléral construit sur l'hypoténuse eut égale à la somme des aires des Iriangles équilatéraux respectivement construits sur les côtés.

379. On donne un triangle ABC ; aux pointa B et C, et d'un même cûté di; BC, on mène à cette droite des perpendiculaires BD et CE qu'on prend égales h. deux fois la hauteur du triangle ABC, Les points F et G étant les milieux des cùtés AB et AC, démontrer que le triangle ABC est équivalent à la somme ou à la différence des triangles BDF, CSG, suivant que ses angles en B et en C sont ou non tous les deux aigus.

380. Les deux triangles opposés, qu'on forme en joignant un point quelconque pris dans l'intérieur d'un parallélogramme à ses qmitre sommets, équivalent ensemble il la moitié du parallélogramme.

(jLiivSTiONS pSiorosÉiis. 3^;^

ZBi On donne un rectangle ASCD; on prend un point quelconque K 6fi BG, un point quelconque F sur CD. Démontrer que le rectangle ABCn (' juivaut au double du triangle AEF, augmenté du rectengle ayant pour draonsions les segments BE et DF,

382. Tout rectangle est moitié du rectangle qui a pour dimensions les diagonales dos carrés construits sur ses côtés adjacents.

383. Si, parle milieu E de la diagonaio BD d'un quadrilatère ABCD, on mène la parallèle FEG à la seconde diagonale AC, démontrer que la (Jroite AG divise le quadrilatère en deux parties équivalentes.

38i. ABCD étant un rectangle, on inscrit dans le triangle ABC un cercle qui touche AB en E et BC en F; on mène ensuite EH parallèle à AD t^t FK parallèle à CD. Démontrer que le rectangle KH ost la moitié du rectangle ABCD.

385. Dans un quadrilatère, les perpendiculaires abaissées but une diagonale des sommets opposés sont égales : on demande de le diviser en quaire triangles équivalents par des droites menées d'un point intérieur aux quatre somme ts-

386. Si, des sommets d'un triangle jusqu'aux côtés opposés ou â leurs prolongements, on mène trois droites égalesà une longueur donnée et si, d'un point intérieur, des parallèles sont menées à ces droites jusqu'aux mêmes côtés, la somme de ces parallèles est égale à la longueur donnée.

387. Si les diagonales d'un quadrilatère inscrit se coupent à angle droit, la somme des produits des côlés opposés représente une aire double de celle du quadrilatère donné.

388. P étant un point quelconque pris dans le plan d'un parallélogramme ABCD, démontrer que le triangle PBD est équivalent à la somme des triangles PAB, PBC.

389. ABCD étant un quadrilatère inscrit, démontrer par les propriétés des aires la relation connus

AC BA.AD-i-BC.CD Hii^AB.BC-i-AD.iJtV

390. D'un point 0 pris dans l'intérieur d'un triangle ABC, on mène jusqu'aux côtés BC,AC,AB, les droites 0(ï, Ofc, Oc; puis, par les sommets A, B, C, jusqu'aux mêmes côtés, les parallèles Ac', Bè', Ce', aux premières droites; démontrer la relation

Ort Oh Oc

:in'| GÉOllfiTIlIE l'I.ANK.

3!H . Démontrer par ies piopriétés des. aires que, si l'on mène la parallèle cb à la base BC d'un triangle ABC, les droites B6. C*^, se croîsenl: sur la médiane qui correspond au sommet A.

392. Si l'on inscrit un cercle dans un triangle rectangle, ce triangle esi équivalent au rectangle qui a pour dimensions les segments déterminé: sur l'hypoténuse par le poicit de contact du cercle inscrit.

393. Démontrer que l'aire d'un triangle en fonclion do ses médianes u. ■. p, 7, est exprimée par la formule

334. La droite qui contient les trois projections d'un point A d'iuie circonférence 0 sur les côtés d'un triangle équilatéral inscrit passe par le milieu du rayon OA.

39H. Dans tout quadrilatère circonscrit à un cercle, la droite qui joinl tes milieui des diagonales passe par le centre du cercle.

396. Étant données les trois hauteurs //, /;', h', d'un triangle, trouver ses trois côtés et sa surfaee.

397. L'aire d'un triangle est égale au rayon du cercle circonscrit, multiplié par ie demi -péri mètre du triangle formé en joignant les pieds des hauteurs.

398. Deux triangles ont un sommet commun : quel est le lieu décrit par ee sommet lorsque, les deux bases restant fixes, la somme ou la différence des aires des deuï triangles demeure constante? — Discussion, — Déduire du résultat obtenu que les milieux des trois diagonales d'un quadrilatère complut sont en ligne droile.

399. Les côtés consécutifs d'un quadïilatère quelconque étant représentés par a, b, c, il, et ses diagonales par m el «, l'aire de ce quadrilatère est exprimée pir la formule

Si le quadrilatère est inscriptible el si p désigne son dcmi-porimètre, cette formule devient

Si le quadrilatère est un trapèze ayant « et c pour bases, on a

tOO, Trouver l'aire d'un quadrilatère quelconque en fonction des deux diagonales et des deux droites qtù joignent les milieux des côtés opposés.

40Î. Démontrer que l'aire d'un quadrilatère, à la fois inscriptible et clrconscriptible, est égale à la racine carrée du produit de ses quatro côtés.

g H. — Comparaison des aires.

402. On donne un triangle rectangle sur les côLéa duquel on conslruil trois carrés; on joint les sommets consécutifs de ces carrés, et l'on demande l'expression de l'aire de la figure totaîe ainsi formée.

i03. Un Iriangleélantdonné, partager sa surface en moyenne et extrême raison par une par<')IIÈ1e à sa base.

40i. Sur les côtés &B, AG, d'un triangle ABC, on construitdcs parallélogrammes quelconques AUDE, ACFG, dont on prolonge les côtés DE etFG jusqu'à leur rencontre au |ioint II; démontrer que la somme des aires de ces deus parallélogrammes équivaut à l'aire du parallélogramme qui a pour côtés adjacents BC el une droite égale et parallèle à AH. — Déduire lie ce théorème celui du carré de l'hypotiinuse.

408. On donne un quadrant AOB et un point P quelconque sur l'arc AB; par ce point P, on mène à cet arc la tangente STP : S est son point d'inlersection avec le rayon OA, T avec le rayon OB. On mène PM perpendiculaire sur OA, et l'on demande de prouver que le triangle AOB est la moyenne proportionnelle des triangles SOT et OMP.

406. SurlescôtésAB.AC, d'un triangle ABC, on marque deus points M et N, et stir la droite MN un point P, tels qu'on ait

B M AN __ PM AM "~ CN ~~ PiN ' démontrer que le triangle BPC équivaut au double du trianftte AMN.

407. Soit un triangle quelconque ABC ; on mène BD perpendiculaire et égale à AB, CIî perpendiculaire et égale à AC, et l'on lire DE, Démontrer que la somme des carrés construits sur BC et sur DE équivaut à deux fois la somme des carrés construits sur les côtés AB et AC.

i08. Par le milieu do chacune des deus diagonaSes d'un quadrilatère, on mono une parallèle ù l'autre, et l'on joint le point d'intersection de ces doux parallèles aux milieux des quatre côtés ; démontrer que le quadrilatère est ainsi partagé en quatre parties équivalentes.

■409. Deux polygones d'un nombre pair de côtés sont éciuivalents , lorsque leurs côti's ont les mÊmes points milieux-

396 GÈOHfiTllin PLANH.

410. L'aire d'un polygone d'un nombre pair de côtés ne varie pas, lorsque tous les sommets de rangs pairs ou tous les sommets de rangs impairs décrivent des droites égales, parallèles et de même sens,

411. £i deux polygones semblables et iiitériaurs l'un à l'autre ont leurs côtés homologues parallèles, tout polygone à la fois inscrit dans l'un et circonscrit à r au Ire a une aire moyenne proportionnelle entre les aires du ces deux polygones.

412. Démontrer que la surface du triangle formé avec les mMianes d'un triangle donné est les trois quarts de la surface de ce triangle. — En déduire : 1° qu'entre tous les triangles qui ont la somme de leurs médianos constante, le triangle équilatérai est maximum ; a" que de tous les triangles équivalents, le triangle équilatérai est celui dans lequel la somme dos médianes est minimum.

g llî. — Aires du polygone réttuUer et au cercle.

413. Trouver en fonction du rayon du cercle circonscrit l'aire du dodécagone régulier.

414. L'aire de l'octogone régulier inscrit dans un cercle équivaut à celle du rectangle qui a pour côtés adjacents les côtés des carrés inscrit et circonscrit.

415. L'aire de l'hexagone régulier inscrit dans un cercle est les trois quarts de celle de l'hexagone régulier circonscrit.

M6. L'aire de l'hexagone régulier inscrit est la moyenne proportionnelle de colles des triangles équilatéraux inscrit et circonscrit.

m. Étant donné un polygone régulier, on mène les diagonales qui sous-tendent successivement deux côtés ; ces diagonales déterminent par leurs intersections un autre polygone dont on demande la nature, et l'aire en fonction de celle du premier polygone.

418. On prend les points B et D à égale distance des extrémités do l'arc d'un quadrant AOC; et l'on mène sur OC les perpendiculaires BG et Dli; démontrer que la figure mixtiligne BGHD est équivalente au sectour OBD.

419. Si l'on prend un point C sur le diamètre AB d'un cercle, l'aire comprise entre ce cercle et les cercles décrits sur les segments AC et CH comme diamètres équivaut au cercle qui a pour diamètre la moyenne proportionnelle des segments AC et CB.

420. Dans des cercles différents, les secteurs dont les angles sont er. raison inverse des carrés des rayons sont équivalents.

QUESTIONS l'ROPOSfttS. 3g7

421. La différence de deux secteurs semblables a pour mesure de son aire le produit de la différence des rayons par i'arc concentrique mené à égale distance des arcs considérés.

^22. Si des demi-cercles sont décrits sur les trois côtés d'un triangla rectangle comme diamètres, et si l'on tourne vers l'intérieur du triangia ceux décrits sur les côtés de l'angle droit, ia somme des segmenta extérieurs correspondant aux côtés de l'angle droit, moins la somme des segments déterminés par l'hypolénuse, équivaut à l'aire commune aus demi-cercles décrits sur les côtés.

i23. Des demi-cercles OEDA, OFDB, étant décrils sur les rayons OA, OB, d'un quadrant OACB, démontrer : i" que les trois points A, B, D, sont en ligne droite; a' que les aires ACBD, OEDF, sont équivalentes; i" que les aires Ol'HA, OEDB, équivalent chacune au quart du carré construit sur le rayon OA.

424. Si ÂB et CD sont deus diamètres perpendiculaires d'un cercle 0, et si, du point D comme centre avec DA pour rayon, on décrit un arc de i:ercle AEB, démontrer que l'aire de la iune AEB équivaut à cj^llo du triangle DAB.

425. Dans un triangle rectangle ABC, AD étant la perpendiculaire abaissije du sommet sur l'hypoténuse, démontrer que les cercles inscrits dans lus triangles ABD, ACD, sont proportionnels à ces triangles.

426. On donne deux droites qui se coupent en A, et l'on déo'it une série de cercles tous tangents à ces deux droites et successivement tangents entra eus; OA étant la dis lance du centre du cercle le plus éloigné au point A, et OB son rayon, ta somme des aires de tous les cercles esta

l'aire du plus éloigne dans un rappoit efprmié par — - -■ ..^--

427. Si le diamètre d'un carde est divi=e en n parties égales aux points P,, P,. . . . , et si l'on décrit des demi cercles au-dessus de ÂB sur les diamètres AP,, AP„. . . , et au-deseous de AB sur les diamètres BP,, BPj,..., le contour de chaque figure telle que AP„,;BP„, est égal à la circonférence du cercle donné, et l'aire de la même figure à la n''"" partie de celle du cercle donné.

428. A étant l'aire d'un polygone régulier inscrit et B l'aire du polygone circonscrit semblable, démontrer que la différence B — A équivaut à l'aire du polygone régulier semblable inscrit dans ia circonférence qui a pour diamètre le c5té du polygone B, ou encore à l'aire du polygono régulier semblable circonscrit à la circonférence qui a pour diamèlre la côté du polygone A,

;^l,g GEOilETniB l'LiKK.

429. CDD étant mi triangle rectangle en B dans lequel BD es.t le doubla de BC, on prolonge BD d'une longueur Dn ^ —, puis encore d'une longueur «6 = ^-^; on mène lesdroilesÇo,Ct, ell'on prolonge BC de telle sorfe que BA = Ci- enfin pu A on i ene à la droite C6 une parallèle qui coupe en E le proton''Pn ont de BD Dân entrer que la longueur BE diffère Irèa-peu de la d i rco ferLiice dont SC est lo rayon, et que le triangle BCIÎ diffère t es peu 3u ce cle coire'ipondant; évaluer les deux différences.

430. A et B désignant les si F ces de deui. polygones ri^uliers semblables inscriret circonscrit à un cercle, et A' ei B' celles des deuï po~ lygones régulière inscrit et cijconscrit d'un nombre de côtés double, dÉniontrer les formules

prouver en outre que B'— A' est < — -- — — Déduire des formules obtenues une nouvelle démonstration du théorème do Sciiwiib (300).

431. /■ et « désignant le rayon et l'apotliÈme d'un polygone régulier, l' ela" le rayon et l'apothème du polygone régulier de môme airaetd'un nombre de côtés double, démontrer les formules

— Déduire de ces foi'mules, on partant du carré doist l'aire est égale à a, un théorème analogue à celui de Scliwab, c'est-à-dire le moyen d'obtenir

une série do nombres tondant vers * /-■

i32. Partager un triangle en parties propoiiionnrllcs à des droites données par des parallèles à sa base.

433 Partager un trapèze en parties proportionnelles à des droites données par des parallèles aux bases.

434. Partager un polygone en parties proportionnelles à des nombres donnés par une série de droites parallèles à,une droite donnés.

435. Partager un triangle en trois lri;\ngles étjuivaloiits par trois dmiLea menées d'un mÈme puint intérieur à ses trois sommets.

436. Par un point pris dans le plan d'un ongle donné, mener une droite telle, que ie triangle qu'elle détermine par sa rencontre avec los cOtés de l'angle soit équivalent à un carré donné.

437. Partager un quadrilatère quelconque en deux parties qui soient dans le rapport de deux droites données, par une paraltèlo ou une perpendiculaire à l'un de ses côtés,

438 frlant donnés (rois pointa A, B, C, en trouver un quatrième 0 tel, que les s face&AOC AÛB BUO présentent des rapports donnés.

439 Pa un po nt pr s sur I un des cûiés d'un polygone, mener «ne série de d 0 tes qu pa à^ t sa surface en un nombre donné de parties équiv lentes

4i0 Insc re d ES u t n le donne un parallélogramme ayant une aire donnée — Dso sson

441 Pa t3g;e n polyg e en « parties équivalentes par um= série di. droites ssuoadu {ont é eur,

442. Inscrire dans un corole donné un lrapè7.e, connaissant son aire et la longueur comniune des deux eûtes non parallèles.

443. Inscrire dans un eorclo donné un rectangle de surface donnée, 4S4. Construire un tnant-i'^ connais'! nî <ïe angles et -ia surLcc 443. Après avoir inscrit un carré dans un carié donné on en ns ut

un troisième dans le second btenu cl am^i de suite indéfini m™ 1 ei adoptant toujours la m6mo ! i d mstriplion

On demande : i° k iim te vers 1 1 juelle tend h somme des carres m scrits; a" combien il faut oonstruiie de carrés iniciits pour quo !cui somme soit équivalente à une sui face donnée

446. Étant donné un trungle on en foime un second en jo gn mt 1 milieux de ses trois côlés un troisième en joi^na it Ira miliei ' do» tro ■> côtés du second, et ainsi de "iuite indéfiniment On dominde la liinit„ d la somme de tous les triangles inscrits de cette manière

447. Construire un ti'iangle équivalent a un triangle donne ut tel, qut; SOS sommets soient respectivement situés sur trois droites données.

448. Partager un trapèze en parties proportionnelles à des ilroitcs données, par des sécantes coupant les deux bases,

4i9. Partager un cercle en parties proportionn:i[leB à dos nombres donnés, par des rayons.

450. E'aftager un cin-cle en parties proport ioonallea à des nombres iloiiiiùs, par des circonKreoces roncenli'iques.

451. Partager un triangle en deuc ()arties proportionnelles à des droiles données, par une perpendiculaire k l'un des côtés.