AB = A'B', AG=:A'G', BC -^ B'C, C = C', B=B', A = A

Chaque cas d'égalité renferme trois de ces conditions groupées de telle sorte que, lorsqu'elles sont satisfaites, les six soient remplies. Par suite, quand on aura reconnu dans une certaine figure l'égalité de deux triangles par l'application de l'un des trois cas énoncés, on devra en conclure immédialemeni l'égalité des trois éléments non employés, et l'on aura acquis ainsi de nouvelles données qui permettront d'aller plus avant dans la recherche que l'on poursuit. Te! est l'usage de la théorie de l'égalité des triangles.

Il est essentiel de remarquer que, dans deux triangles égaux, les côtés égaux sont toujour.'î opposés aux angles égaux.

THÉORÈME

34. Si un triangle a deux côtés inégaux, l'angle opposé au plus grand de ces deux côtés est plus grand que l'angle opposé à l'autre.

Èoil {fig. 29) le triangle ABC, dans lequel on a AC^AB; il

faut démontrer que l'angle ABC est plus grand que l'angle ACB.

Prenons AD = AB et menons la droite BDK; le triangle ABD étant isocèle, l'angie ABD est égal à l'angle ADB ou à son opposé par le sommet KDC; l'angle K.DC est donc moindre que ABC.

Joignons le point B au milieu I de DC, prolongeons Bl d'une longueur lE égaie à BI et tirons la droite DE; les triangles DIE, BIC ont un angle égal DIE = BIG compris entre deux

30 GÉOnÉmiE PLABE.

côtés égaux Dl = IC, El = IB; ils soni donc égaux ei l'angle EDI est égal à ICB; mais, d'après la jionslruclion, le point E est silué dans l'angle KDC; donc l'angle KDC est plus grand que EDi ou que son égal ACB.

Donc enfin, l'angle KDC étant supérieur à ACB et inférieur à ABC, il faut que l'angle ACB soit moindre que l'angle ABC.

35. Récu-rodubment, S( «ra triangle a deux angles inégaux, le côlé opposé au plus grand de ces deux angles est plus grand que le côté opposé à Vautre.

Ainsi, si l'angle ABC est plus grand que l'angle ACB, on doit avoir AC>AB.

En effet, sil'on avait AC = AB, on aurait (28)

angle ABC = angle ACB

et, si l'on avait AC < AB, on aurait [34]

angle ABC < angle ACB.

THÉORÈME

36. Dans un triangle, un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres.

Il suffit de démontrer que le plus grand côté BC est moindre que la somme BA H- AG des deux autres {Jig. 3o).

Prolongeons BA d'une longueur AD =^ AC, et menons CD.

l.e triangle ACD étant isocèle, l'angle D est égal à l'angle ACD

et, par suite, moindre que l'angie BCD; donc (33) dans le

Iriangle BCD, le côlé BC est moindre que BD, c'est-à-dire que

BA + AD ou BA -*- AC-

COROLUIRES.