BC>AB— AC

Trois droites de longueurs arbitraires ne peuvent pas toujours former les trois côtés d'un triangle, II faut que la plus grande d'entre elles soit inférieure à la somme des deux autres. Par exemple, il n'existe pas de triangle dont les côtés aient des longueurs respectivement égales à 7 mètres, 5 mètres, I mètre.

THÉORÈME

38. La ligne droite est plus courte que toute ligne brisée ayant les mêmes extrémités.

Soit AB une ligne droite et ACDEPB une ligne brisée ayant les mêmes extrémités {Jig- 3i ).

En joignant le point A aux sommets D, E, F de la ligne brisée, on a successivement ^

AB<^^-t-FB,

^<AIlf-l-DE, AD'< AC -f- CD i

d'oii, en ajouunt et supprimanlUes quantités AF, AE, AD communes aux deux membres de l'inégalité,

AB < AC -(- CD -f- DS; -1- EF + FB.

yGoosle

GÉOMÉTRIE PLANH-

Corollaire.

39. Toute ll^ne polygonale convexe ABCI) est moindre que loule ligne polygonale enveloppante XMÏiD, terminée aux mêmes extrémités (Jig. 32).

En laissant de côté la partie commune AD, prouvons que le FiK. 32. Fis. 33'

contour ABCD esl inférieur a« contour AMND. Prolongeons les côtés AB et BC jusqu'à ce qu'ils coupent en E et en F le contour polygonal AMND. Nous pourrons écrire les inégalités suivantes :

AB -4- BE < AM 4- ME, BC + CF < BË + EN + NF, CD < CF -h FD.

Si nous ajoutons ces Inégalités membre à membre, il viendra, en opérant les réductions ei additions,