Do tous les polygones d'(m rafii b
à un même cercle, le |;olygone régulier mum é
minimum; et, de tous les polygones rt, à m m
cercle, celui qui a le plus grand iiombre ô éa m n
périmètre minimum.
480. Stant donnés « points situés coi eriro le plus petit cercle qui les contien
-iSL iies bases de deux triangles et la m élan t données, trouver les conditiojisdu d m d s
de ce.s deux tnaiiales.
ODESTtONS PBOPOBÉES.
DE GÉÛMËTBIE PLANE.
i82. Étant donnés les milieux des côtés d'im polygoiio convess d'un nombre impair de c-ôtés, déterminer sos sommets en employant seulement le compas.
483. Conelruire un triangle rectangle te!, qu'un du ses côtés soit la moyenne proportionnelle de rhypoténose et de l'auti-e côté.
i8S. Construire un triangle égal h un triangle domié et dont les trois côtés passent respectivement par trois points donnas.
485. On donne un demi-cercle de diamètre AB; soit G un point quelw)i!q\i6 de co diamètre. On décrit deus autres demi-cercles sur AC et CE comme diamètres, et l'on mène à AB une perpendiculaire par !e point C. Démontrer que les deux cercles inscrits de part et d'autre do cotte perpendiculaire sont égaux entre eux.
486. Si deux cercles de rayons égaux se coupanton .i oten B et si, par le point A, on mène la droite AEG qui rencontre respectivement îhs deux cercles en E et en C, le triangle EBC est équivalent à l'aire comprise entre les deus arcs BE et BC et le côté EC.
i&l. Trouver, sur la droite qui joint les centres de deux triangles équilatéraux donnés, un point tel, que les sommes respectives dos carrés Uo ses distances aux côtés dos deus triangles soient dans un rapport donné.
i88. Inscrire dans un cercle donné un triangle isocèle dont !a somme de la base et de îa hauteur soit égalo à une droite donnée.
489. Étant donnés une circonférence et un triangle, trouver sur la circonférence un point tel, que la somme des carrés de ses distancesaux trois sommets du triangle soit égale â un carré donné.
490. Étant donnés un cercle et une tangente à ce cercle, trouver sur sa circonférence un point dont la somme des distances à la tangente et à son point de contact soit égale à une droite donnée.
^o4 GnMJÉT«,E pr.ANB.
491. On porlagB «ne cioito donnée en moyenne et citiéme raison; puis Ig plus grjod sogniLiit. Liouvo en niuiuine it cxtiérae raison, et ainsi de suite indéfiniment. Vere quelle limite tend la somme den plus grands segments mnai obtenus?
.4S3, Étant données la hauteur d'un trnn£,le et Ips dilli.'ronco'i do chacun lies segments qu'elle dÉtevmine sur ia base a^ee le cotii adjacent, construire le triangle.
403. Si, du sommet de l'angle droit d'un tnangle reclangle, on mène des droites aux sommets opposés du carra consiruit sur 1 lijpotpnuse, la différence dss nrré- de ces droites est â"i'e j la diETeienci des carrés des côtOs du
49i. Étan d lents .\S = a, BC = /',
DC = o, déto p es monts sont vus sous le
raÈaieanglo;d — App rs«= i, i = a, c = 3.
49j. Soiei p à Lrois premiers A, C, E,
sur une mûm d B D T sur une autre droite.
Ddmnntrer q to B 0 DE, de BC et de EF,
de CD et do g
^96. Un c q à nt donnés, démontrer
fjuc, si l'on c q d d
i" Le carr gai à la somme des ean-és
des tangentes issues de ses extrémités; 2 Cette diagonale est égale à la somme des deux tangentes issoes do son milieu ; 3° Le cercle décrit sur colto diagonale comme diamètre coupe orlhogonalement le cercle donné-
497. Dans un triangle ABC, on mène la bissectrice AK do l'angle an sommot et la hauteur AF correspondante; des extrémités B et C de la base, on abaisse sur h bissoclriee AK les perpendiculaires BD et CE; démontrer que le cercle déterminé par les trois points F, D, E, passe par le milieu G de la base BC, et que l'uire du triangle équivaut au rectangle BD.AE ou CE. AD.
498. La courbe piano dont toutes les normales concourent en un même point, est «ne circonférence.
493. Lémontrer que D étant un point quelconque de la base BC d'un triangle ABC, et AD la droite qui le joint au sommet du trianglo, on a
lii' .CD -4- AC' .150=:: AÛ'.BCh- BC.iîK.CD.
300. On donne un point C quelconque sur une droite AB; trouver sur CD et sur CB prolongée les points D et D' tels, que CD soit la moyenne
CUlisriONS TEOPOSÈliS. 4o5
[,roi)orl.ioniielie de AD ot do BD, et CD' la moyumie ptopoiLionneUe da AU' yl fie BD'.
BOi. ÂB est divisée au point G en raoyeime et BSti-ême raison; sur le l.lus grand segment CA prolongé, on prend AD = CA, et sur CA on prend AE = BC i démontrer que les droites BD et BE sont aussi divisées en moyenne etestième raison aux poiuts A et C.
302. AB, AC, DE, DF, étant quatre droites qui, par leurs ijitersections trois à trois, forment quatre triangles, démontrer que les cercles circonscrits è, ces triangles passemt par un même point.
303. Si S'en prolonge la basé d'un triangle do part et d'auti-e, de manière que chaque prolongement soit égal au câté adjacent, et si l'on fait passer un cercle par les extrémités obteuues et le sommet du triangle, la droite qui joindra ce sommet au centre du cercle sera la bissectrice de l'angle au sommet.
304. Trouver le lieu des points dont les puissancDS par rapport h deux cercles donnés sont égales et de signes contraires.
303. Si l'on partage un losange en losanges égaus par deux séries de parallèles aux côtés, la somme des cercles inscrits daiis les losanges [Wrtiels écjuivaut au uercle inscrit dans le losange total.
306. Les côtés d'un triangle élant en progression arithmétique, o et ii' étant le plus petit et le plus grand côté, R et /■ les rayons des cercles circonscrit et inscrit au triangle, on a
307. Construire un triungle rectangle, connaissant la somme des deu^ cdtés de l'angle droit et la somme formée par l'un d'eux et l'hypoténuse.
308. Du sommet A de l'angle droit d'un triangle rectangle ABC, on abaisse A/» perpendiculaire sur l'hypoténuseEC/'jperpendiculairesur AU, jr perpendiculaire sur BC, /:< perpendiculaire sur AB, et ainsi de suite in défini in ont ; démontrer que le rapport de la somme de ces perpendiculaires à AB est égal au rapport de AB + GC à AC.
309. On a dans un cercle une corde CD parallèle à une droite de longueur donnée AB; la droite AC coupant le cercle une seconde fois en E, et la droite BE une seconde fois en F, démontrer que la droite DF coupe AB en un point fixe, quand la corde CD se déplace parallèleraeul à elle-
SiO. Dans un triangle inscrit ABC, on mène par lo sommet A jusqu'à
la base BCl des paiallÈles AD cl Alî i trer la reiaUna
AC
511. î.ii cfilÉ d'un polygone est divisé en ri parties; sur chacune de ces [larlii's, on construit par rapport au polygone donné un polygone semblable et Bemblabloment placé; démontrer que la somme des périmétia de tous ces polygones est égale au périmètre du polygone donné, et que ia somme de leurs aircœ (si le côté du .polygone donné a 6té divisé en n parties égales) est égale à ia n**"" partie de ce polygone.
812. Si l'on désigne par a, b, c, les trois côtés d'un Iriangle ABC, et si ko!, GÈ', Ce', sont les bissectrices de ses angles, on a la relation
î>13. Si Ad, D6, Ce, sont les droites menées des sommets d'un triangle aux points de contact des côtés opposés avec le cercle inscrit, on a
Ai.C«.Bc= Ac.B^.CA.
V.U. Si l'on prolonge le côlé AD d'un triangle ABCjusqu'en D, et si l'on prend CF = ISD sur le côté CA, la base BC divise la droite DF dans le rapport des côtés AG et AB ; de même, la droite DF divise BC dans le rapport des segmMils AF et AD.
SiS. Soient deux cercles extérieurs l'un à l'autre dont les deux tangentes communes intérieures, qui correspondent aux rayons AC et BD, se rencontrent en O et coupent aux points K et H l'une des tangentes communes extérieures; démontrer la relation
0C.OD-hAC.BD = 0li.OH.
SIR. A!iCO étant un quadrilatère quelconque et T le point de concours (les perpendiculaires menées par les extrémités du côté A13 aux côtés adjacents AD et BC, démonti-er que la perpendiculaire menée par le point T sur la droite qui joint les milieux des diagonales du quadrilatère, divise le côté AB en deuï segments proportionnels aux projections des côtés BC et AD sur AB.
317. La somme algébrique des perpendiculaires al d'un polygone régulier sur une droite menée par son c quelle que soit ia direction de cette droite.
QIIESTIONS PBOPOSÉKS. fi--,-
518. ïîlanldonnésuii tmnêleADCetdesdroiles Ao,ÎJt,C(r, qui allant des sominels aux côtés opposés se ven contrent en un même point, on fait passer un oercle par les trois points a, b, c, lequel coupe les mêmes côtés du triangle en trois aulrfâ poinis «', à',c'; démontrer que les droites An', B4', Ce', se rencontrent aussi en un même point.
510. D'un point pris dans l'intérieur d'un triangle ABC, on mène des sommets aux côtés opposés les droites AH, BE, CF, puis on joint deus a deux les points If, E, F; démontrer que les droifes AH, BE, CF, sont alors divisées harmoniquement. — Inversement, si une droite AH est diviséo harmoniquement en G el D, et si F est un point d'une autre droite AB, les intersections E et C des droites FG et BD, FD et BH, sont en liyne droite avec le point A.
520. l'ar le sommet A d'un triangle ABC, mener uns droite telle, que îes perpendiculaires BB',CC', abaissées sur elle des extrémités delà base, forment des triangles rectangles ABB', ACC, équivalents.
S2J. L'aire d'un quadrilatère quelconque ABCD est égale à l'aire dfi triangle ayant [«ur base l'on des côtés AB et pour sommet le point de concours des deux diagonales, plus trois fois le triangle ayant pour base le côté CD et pour sommet le point de concours des deux droites qui joignent les centres de gravité des triangles ABC et CDA et dos triangles BGDelDAB.
-^22, Inscrire un carré dans un parallélogramme. — Discussion.
S23. Étant donné un quadrilatère ABCD, si l'on prend à volonté un point M sur AB et un point N sur CD, et que l'on mène les droites AN et DM qui se coupent en P, puis les droites CM et BN qui se coupont en Q, la droite PQ passe par uu point fixe.
S2i. Décrire un cercle tangent à deux cercles donnés et qui passe par un point donné de leur axe radical.
525. Étant donnés deux points A et B el deux circonférences passant, l'une par A, l'autre par B, trouver sur l'axe radical de ces circonférences un point C tel, que la droite qui unit les secondes extrémités des cordes déterminées par les sécantes GA et CB soit perpendiculaire à cet axe radical.
52fi. Un triangle PQB étant circonscrit à un cercle 0, on forme un second triangle ABC ayant pour sommets les milieuxdes côtés du premier; des points A, B, C, on mène au i;ercle 0 des tangentes qui rencontrent en rr, b, c, les côtés opposés du triangle ABC; démontrer que les points a. h, c, sont en ligne droite.
/|o8 Geoi[(iniiii pi.ANn. — QunsTiONs phoi'osiîks.
B2t. DeuK triangles circonscrils à un cercle donné de rayon R et ayant îeurs côtés parallèles deux à denx, âéterminent en s' entrecoupant sis triangles partiels; démontrer que le produit des surfaces de ces six iriangles et des deux triangles donnés est égal h. la seizième puissance du rayon R.
S28. Les droites, qui joignent les milieux des diagonales de tous les quadrilatères formés en prenant quatre côtés consécutifs d'un pentagone, concourent en un même point,
329. Inscrire dans ua cercle un polygone régulier de 17 côtés; montrer que !e côté de ce polygone est sensiblement égal à la moitié do l'escèsdu côté du triangle équiialéral inscrit sur !e côté de l'hexagone régulier inscrit, et trouver une limite de l'erreur que comporte cette valeur approchée.
S30. Étant donnés deux triangles ABC, aPy, tels que les côtés a^, Sy, yx, du second passent respectivement par les sommets C, A, B, du premier, on demande d'évaluer l'airo du triangle 2^7 en fonction de l'aire du triangle ABC et des rapports des segments que les côtés du triangle 0^7 déterminent sur ceux du triangle ABC, — Déduire, de la formule obtenue, lo théorème do Céva (311).
