Cela posé, considérons l'intégi

le chemin d'intégration pouvant être choisi à volonté, à condition toutefois de ne pas passer par rinfmi; nous désignerons cette intégrale par le pymbole m^.

En multipliant les deux membres de la relation (a) par c-~z"'f"'{î)^

^\f"-,-Hz) d

.î!i£ifi)"i

rfoii, en multipliant par dz et intégrant entre les limites o et a*,

[m + i)^= 4[^„, z,)/"jH- . . . + ^[z,., Zi}w{. La reclierche des intégrales (m + i)% se trouve ainsi ramenée à celle des intégrales m\. Par le même procédé, on ramènera à leur tour cellea-ci aux intégrales (m — i)% et, en continuant de la sorte, on arrivera à la formule

avec la relation.

(4) I Uj3W-l),

Mais, on multipliant par e-' les deux membre-s de la relation ( ï | , oit a

d'ofi, en miilliplianl par dz et inlégrant entre o et rj-,

U suffil, dos lord de poser

(5) 4 = Ulï(a/„ :,) -^ . . . + U;; t(2/^, î.),

pour oblenir la formule

duo à M. Hermite el dont dépend toute la suite de cette étude.

Les quantités u^ sont des fonctions entières et à coefTicients entiers des racines de/{z) ~ o; leur expression (5) montre en outre que !eur déterminant

1 produit des dé ter mi liants (3| et (4); d'où résullo l'égalité

3. Enfui, pour terminer ce travail préparatoire, nous allons montrer que ÏUitégrale i!i\ tend vers zéro lorsque m cmù: iniléfimme?H.

Si l'on désigne, en olfot, par i' la longueur du cliemiu d'intûi; ration adopté pour le caicui dowj., et par;»' et v' les modules mîiîiiraura do zf{t] et de e--=(3 — 3/]-' le long de ce chemin, on a évidemment

Par suite, si J, p, v senties plus grandes valeurs de X', fi', ■/ pour loiiira les valeurs de k et de j, toutes les intégrales m'/, auront un module l'nfi;rieur à

or ï, fi, u sont des nombres Unis et indépendants de m, et l'on sait d'ailleurs que la fraction mise entre parentJièses peut, pour une valeur assez grande de l'entier m, devenir inférieure à touta quantité donnée.

Théorèmes de M. LiademaniL

4. Supposons : i" que n soit de la forme /ly, p et q étant deux entiers positifs quelconques; 2° que a,, •-■, 3p soient les racines d'une équation

SUR r.'iiii'DssiniLiTÈ le la. quawiatijr]! ni] cmi irréducUbiû de la [di'iub

iP) ^(î) = zP-hb,zP-'-h- ...hl'p^o,

61, Ifs, .-., Op élant des nombres entiers réels ou imagiiii !'oti ait pour toutes les valeurs i, 2, . . . /j do l'indice v

On aura, par la formule (6),

d'où, en multipliant respectlTement par des nombres Ni, Ns, ..., N,, supposés entiers réels ou imaginaires, mais différents de ïéro, puis ajoutant et ayant égard aus relations (7),

~Niï";-Ns2«^,-...-~N5S«('^„^^,^

toutes ios sommes S étant prises de n = 1 à v = p. L'existence d'une relation telle que

entraînerait donc les /i + 1 relations que l'on déduit de

en y faisant i = o, i, a, . . ., n. L'impossibilité de la reiation (I) sera donc démontrée, si l'on prouve l'împossibiiité du système des {/i-i-i) équations (8).

A cet effet, nous ferons d'abord les remarques suivantes, qui nfsultcnt de la composition des «^ et de la forme entière des coefficients de l'équation qui a les s* pour racines.

1° Lesecond membre delà premièmdes équations (8) (relativeà/= o) est un noml)re entier; car ce second membre, qui est une fonction entière et à coefficients entiers de at, est en outre une l'onction symétrique de ces racines, vu que, si l'on échange les indices a: et /qu'on suppose clioisis parmi 1, a, ... , /j, 11^ s'écbange avec ii^y, ij^-v avec zy+i.p, et "ï+jpaveciij+.ip;

3° Les seconds membres dus autres équations (3) ne font que s'échanger