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d'où l'on di'MlQLt
i7!iB m.C maA
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WiB MîC MsA m, C MîA Mali
M,B m,C m,A MiC m,A msli
Par conséquent (310, 326) ; i° Los points n^i, mj, ma *o«( «iwiif jw rme même droite m, a.Te d'homologie du triangle fondamental ABC et du trimigli! iitiA^hia (triaiigle pêdal de M);
a" Les droites Awii, Bmi, Cnis forment un triangle MaM/.Mc, dont les sommets sont situés sur les di-oites AM, BMj CM, (Comparer avec le n" 31S.)
I^ di-oite m est dite harïnoniqucnient associée au point M; on l'appelle également polaire trilinéaire de M. M est lo point harmoiiiquement atsocié à la droite m ou ]opâle trilirtc'mre àa m. Les ^loiuls Ma, Mj, Me,
sont harmoniqiiement associés à M; ce sont io8 conjugués harmoQiquss dj M par rapport ans segmenta AMi, BMa, CMa- Enfin, les polaires tri-
GËOMËTItlB DU TIIIANGLE. i)35
linéaires des points Ma, M;,, Me, ou les droites miM^Ms, MirasMa, MiMsni(, sont harmoniquement associéss à la droite mimjma. Si Mb est le point donné, les associés sont M, Me, Ht- Pour construire le pôle trilinéaîre M d'une droite m, qui eonpe les côtés du triangle fondamental en mi, m^, mj, on trace les droites Am,, Bmi, Cmj, qui forment un triangle MatihUc', les droites AMa,BMi, CMc concourent au point cherché M.
Les coordonnées d'une droite sont inversement proportionnelles aax coordonnées barycentriques de son pôle trilinéaire. Si a, p, y sont les coordonnées barycen triques ou normales d'un point, celles dos points associés sont
(-a,p,-f), («,-p,Y), («,3,-ïy
ScOUE.
7 i" Les associés du centre de gravité G sont les sommais du tri-
angle anticomplémentairoA"lS"C" {Jîg. 3); la polaij h droite de l'infini.
436 KOTB III.
2° r^ polaire triliuéaire fhh^'s de l'orthocenli-e H est l'axo d'homologie du triangle fondamenlat ABC cl du iriangle ortliiquo HiH^Ha 0%- 5); ou l'appelle fl^re ortliique de ABC.
L'axe orthiquB d'un triangle est l'axe radical du cercle circonscrit et du cercle des neuf points; il est perpendiculaire à la droite d'Euter.
En effet, les cpiadrilatôres inscriptibles A'H,HsHs, BCHsHj donnent A,H,.//iA'=-/'iHï.//,Il3, /(iB./;,C = /<,H,.A,H3, (l'ofL //iH|./i]A' = AiB.//iC; par suite, lii appartient h. l'axe radical des cercles 0, Ou.
3° Les associés du centre I du cercle inscrit à ABC sont les centres 1«, h, le des cercles exinscrits; la polaire trilinéaire de I joint les pieds '1, il, 's des bissectrices extérieures {^g- 6).
La droite ijiiii&tt perpendiculaire «10. En effet, ABC est le triangle orlhique, et la cercle circonscrit 0 est le cercle des neuf points du triangle iahh ] donc 10 est la droite d'Euler du dernier triangle.
Soient (i, L, h los piûda des bissectrices intérieures de ABC. ABC étant le triangle ortliiquô de chacun des triangles IIcI*, IcHa. 1/JaI, on démontre facilement que les droites ï^lj, hli, Uli sont respcctivemeid perpendiculaires aux droites Oîo, Oli,, Ole.
POINTS ]ÎT TKANSVEUSiLES IIÉCIPROQUES (').
K. Lorsque deux segments AB, CD appartenant à la même droile ont raÈme railicii, nous dirons que C et D sont des points isolomiques par
rapport îi A et B ; que D est l'isotomiquo de C. L'isotomiqiie d'un poin
(') G. (lo Longcliamps, iVoiivcîk-s Annales de MalhëmatUpie
pris sur un côEé du triangle de roféreuce e par rapport au milieu da côté.
THÉOBÈMlî.
1° Soienl Mi, Mî, Mj (^.7) les points de rencontre dei côtés BC, C AB d'un triangle avec les droites joignant les sommets opposés à u. mène point M du plan, et soient Mj, Mi, M3 les isoiomiques de M Mî, Ma : les droites kW^, BMj.CM'j concourent en un même point M
2° Soient m^, m^, m^ ( fig. 8) les points de rencontre des côtés EC, CA, AB d'un triangle avec une transversale quelconque m, et m\, m'j, m',, les isoiomiques de mt, '"s, "'3; les points m\, m\, n situés sur une seconde transversale m,..
Ces proposilioas résultent immédiatement des n'" 313 et 310.
Les points M, M^ ont reçu le nom de points réciproques. Les coordonnées barycen triques de l'un Eont inverses de celles de l'autre point.
Les droites m, m,- sont des transversales réciproques ; les coordonnées de m,, sont égales aux
