POINTS INVERSES

9, Lorsque deux angles de même sommet ont même bissectrice, noua dirons que les deux côtés do l'un des angles sont des droites isogonales par rapporta l'autre angle. l.'isogùnaleA'\m6 droite menée par un sommet du triangle de référence est la symétrique de celte droîLe par rapport à la bissectrice de l'angle correspondant du triangle.

LEMME

Soient P, Q deux points quelconques pris sur deux droites isogonales par rapport à l'angle BAC (Jîg. 9).

(') E. Vigarié, Joai-Rid de Muihématiques éldmeiiiaires, i8S5.

438 KOTii m.

1° Les distances deV aux côtés de l'angle BAC sont inversement pi-oporiioiinelles à celles de Q aun: menés côtes;

2° Les projections des points P, Q sur les deux calés de l'angle BAC sont quatre points d'une mène circonférence;

3° La droite qui joint les projections de l'un des points 1', Q sur les côtés de l'angle BAC est perpendiculaire à celle qui unit l'autre point au sommet de l'angle.

1° Soient Pi, Q] les projections des pointsP,Q8urAB, et soient Ps, Qi I ours projections sur AC- Si l'on retourne le quadrilatère AQiQQi autour (io la bissectrice de l'angie BAC, il devient homothélique au quadrilatère APiPPt. lien résulte que

PPi.QQi = PPi.QOs-

a° Los droites PjPî, QiQ^ sont a nti parallèle s par rapport à l'angle liAC ; car leurs directions sont symétriques par rapport à la bissectrice do cet angle. Le quadrilatère PiPîQiQaest donc inscriptible ; le centre de la circonférence circonscrite est au milieu de la droite PQ, à la rencontre des perpendiculaires élevées aux milieux des cordes PiOi. PsQ=.

3° Le quadrilalère AP^PPs étant inscriptible, on a angulairennent

APjPi = APP, =■ go™ - PAr.j = yo^ - P.AQ; donc les droites AQi PiPa sont rectangulaires-

GiiojiÉTLiiE 00 ïnu>!GLE. 439

THÉOHÈME.

10. Sou M un point quelconque du pleut du Iriangle ABC {Jîg- to) :

1° Les isogoiiales des di-oites AM, BIM, CM concourent en un même point M( ;

a° Les pi-ojections dos points M, M; sur les côtés du triangle ABC sont six points d'une même circonférence ;

3° Les côtés du triangle podaire {') de l'un des points M, M( sont, respectivement, perpendiculaires aiu: droites joignant l'mitre point « A, B, C ;

4" Les coordonnées normales de M; sont inversement proportionnelles à celles de M.

1° et 2°. La première partie du Ihéorème résulte da n" 313. On peut également l'établir, en mûmo temps que la seconde partie, en s'appiiyant sur le lemme qui précède.

En effet, soit M; le point où se coupeat les isogonales des droites AM, BM, et soient X, Y, Z, X(, Y(, Z; les projections des points Mj lit sur les côtés du triangle ABC. La circonférence décrite du milieu de la droite MM; comme centre et passant par Z et Zc contient les points y. Y/, X, X( (N.,9, a"). Comme elle est complètement déterminée par les trois points X, V, Z, le point M; est aussi situé sur l'isogonale de CM.

3° et 4°. Ces propriétés résultent immédiatemeat de (N.,9, i" et 3°).

ScOLIE.

M. Los points H, M/ sont dits inverses ou conjugués iso^onan.v par rapport au triangle ABC.

Les centres I, la, I*, le des cercles tangents aux trois cùtôs de ABC sont, chacun leurs propres inverses.

L'orthoceutre H et le centre 0 du cercle circonscrit (/îg. 5 ) sont des points inverses ; car, la tangente en Au ce cercle elle côté BC étant antiparallèles par rapport ii l'angle BAC, ta hauteur AH et le rayon AO sont des lignes isogonales. Il suit de là que les milieux des eûtes et les pieds des hauteurs de ABC sont sur une même circonférence.

L'inverse d'un point M de la circonférence circonscrite à un triangle est à l'infini sur la direction perpendiculaire à la droite de Simson (169, 11°) de ce point. En effet, celte droite est perpendiculaire à l'isogonaîo do chacune des droites A,\(, BM, CM.

(') ?ious appoloiis triangle podaire d'un point M, pur l'appoH à un triangle ABC, le iriangre XYZ qui a pour sommets lc9 projections de M 9iir les cûtAs de ABC; inversement, le triangle ABC est appelé le triangle amipodaire da M par rapport au triangle XYZ.

l'iC

NOTE m.