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12. Si les perpendiculairei mciieis tiet lommeit dun triangle ABC sw les côtés correspondante dun tnaii^le AiB]C] se coupeil en un même point D, les perpendtciclairm menées des tommels du triangle AiBiCi sw les côtés correspondante de ABC concourent aum en un inémepoint'Ùi.

Il suffît d'établir cette piopo'iition pour un triangle homothétique à AjUiCi. Voici Iroia figures on tlle sai eiçoit immcdidCemint

1° Soient, par rapport au tnanglo ABC, D,- l'inverse de D, et X^Y^Z/ lo triangle podaire de D; {fîg. lo). Les droites AD, HD, Cl) sont per-

pendiculaires aux côtés du triaÈigle XYZ, et les droites DiX/,D;Yi, D,Zi srtut perpondiculaires^aiix côtés du triangle ARC.

3° Soient A,, B5,;Ca, Dj loB centres des cercles circouscrils aux triangles BGD, CDA, DAB, ABC (jf^'. ii). Les côtés du triangle AîBiCî sont perpendiculaires aux milieux des droites DA, DB, DC, et les droites D1A2, DsBj, DjCsSont perpendiculaires aux milieux des côtés du triangle ABC -

'1° Construisons le triangle polaire do ABC par rapport à une circonférence décrite de D comme centre avec un rayon quelconque d(fig. la). A cet eB'ct, nous déterminons sur les droites DA, DB, DC les points X', Y', Z' satisfaisant aux égalités

DA.DX'= Dli.DV'= rJC.DZ'-=#,

GJÎOMfiTmE I)U TIIIANGLE. 4'!'

et nous menons en X', Y', Z' des perpendiculaires sur DA, DB, DC: ces perpendiculaires sont les côtés du triangle cherché A'B'C. Ou bien, nous abaissons de D des perpendiculaires DX, DY, DZ sur BC, CA, Ali

et nous déterndi lions

ons sur ces droites les points A',B', C par les con- DX.nA'^-Dy.DB'^DZ.BC'=(Z2.