MOTE III
priété, désignons par a' la seconde extrémité du diamètre al du cercle I. A étant un centre de similitude des cercles I, !«, la droite ai a/, qui joint les extrémités do deux rayons parallèles, passe par A; par conséquent, la droite A'I joignant les milieux do an, et ao/ est parallèle à Attj, B'I et Cl sont parallèles àB]Jî, Cysi et les points I, v sont des points complémentaires (N.,9).
Les autres parties de la proposition peuvent Être établies par un procédé analogue.
V est appelé quelquefois \c point de JVogel de ABC ; v^, v*, v^ sont les adjoints de V.
suit LES PIGtlBES SEUDLAULBUENT VARIABLES (' )■
S2. Une figure est dite semblablemeiit variable lorsqu'elle se modifie d'une manière continue en restant semblable à une Cgui-e fixe.
THÉORÈME
Lorsque trois droites «,, bu ci d'tiiie figure semblablemein variable çi pOrfsent par trois points fij:es A, B, C, ileœiste uii point Odo cette ftgure qui l'esté fixe. Tous les points de la filtre décrivent des circonférences passant par D ; une droite quelconque passe par un point fixe ifig. 1-]).
Fie. ^7.
Chaque position de <f>i est déterminée par les positions de trois deses
{ ' ) J. Nouberg, Proceedings of ihe Londoa Mathematical SocUtj, j885.
CÉOUÉ R H OU Ii"!G 47»
I tos pou u que celles o o entras no s Suit Ai B, Ci
le t angle fo mé pa l> onne 1 E oujo semblable à
1 îiÉme ses cû os tou nent a ou do A B ( d un mdmo sons, le q TnL tés é les et es son ets pa ou t os rconférences 0 0 0 y assai t [ a deux des ] o ta A B C et se oupant on un
è pontî) nôlpôled t ngle \BCpa ppo t ut ongle AjBiCi. Los angles DBiCi, DCiBi étant conslaiils, D est sou propre liomologuo dans toutes les positions de çi : c'est un centre permanent de similitude.
Les perpendiculaires monÉes eu A, B, C sur DA., DB, DC forment «ii Lfianglo AoBoCo, que nous pouyoua considérer comme étant la position initiale de AiB,Ci. Soient Ot,N, OcP des perpeudiculaires, et OcQ unoparaUèie à B,C, ; comme BiCi = aNP = rjQOe, BoC(,= îOùOc, QOs< OiOc, les dimensions les plus grandes de la figure variable co.i^rospoudont à la position initiale ipo. Le rapport de similitude de vi et tpg a pour expression OcQ; OcOi= cos«, a désignant l'anglo CoAC,.
Soient Mo, Ml deux points homologues de tpoi çi.Les triangles DMoBo, DMiBi étant semblables, les triangles DMoMi, DBoB, le sont également, et le lieu de Mi est la eirconfôrcnce 0,^, qui a pour diamètre DHo-
Soit MiM une droite quelconque de çi. Uu point Mj de cette îigïie décrit une circonférence 0„, et l'angle UMi M est constant; par suite, k droite passe par \\\\ point fixe M de la civconféroneo 0„i. Co point est la projection du centre permanent D sur la position initiale MoM de la droite.
SCOLIE
i)3. i" Los droites ai, bi, cu à un certain moment, coïneidenl avec AD, JtD, CD; dans celte position, tous les points de la figure variable sont confoudns en D, et toutes les droites passent par D.
La figure passe deux fois par les mâmes états de grandeur ; elle a les m&mes dimensions lorsque «i prend deux positions symétriques par rapport à BcCo.
a" Le centre permanent D est, dans le triangle variable AiBiCi, l'inverse du mélapôle ou le centre métaharmonique de ce triangle par rapport au triangle ABC. Ce rôle de D s'aperçoit immédiatement dans le triangle AoBoCq, dont ABC est le triangle podaire par rapport à D.
3° Considérons une seconde figure ç't qui varie en restant symétriquement semblableà la figure oj, avec la condition que les homologues des droites «1,^1, C] passent aussi par les points A, B, C. Le centre permanent do similitude de ç'i est le jumeau D'de D(N.,17), dans le triangle jIBC. Il existe entre les triangles antipodaires de /VBG par rapport aux deuï points D, ff cette relation assez curieuse que nous ne faisons qu'énoncer ici : La différence des vedeurs absolues de leurs aire/i eu •fgale à quatre foix l'aire ABC.
^72 NOTH III.
'ii. Les cas où les droites «i, ii, Ci, dans une position particulière, coïncident, soit avec AB, BC, CA, soit avec CA, AB, BC, prcsenlent un grand intérêt.
1" DanB lo premier cas (Jîg. a8), les droites «i, b,, c, font avec AB, BC, CA un mémo angie X. Nous désignons maiateflant par Ai, B,, Ci les points d'intersection des droites ci et «i, <ii et 61, ti etcj, de sorteque le triitngle A|B]Ci est semblable <i ABC; ces points se meuvent sur les circonféreneoa adjointes (CA), (AB), (BC), dont les centres sont représentés par n, [J, y. Le centre permanent de similitude est le point il de ISrocard, toi ijue ùMi ^ lilîC = tiCA = V.
Soient 0 le centre du cercle ABC ; AoBoC„ le triangle antipodaire de ù par rapport à ABC. Les angles «OP, ^Oy, yGaétant les suppléments des angles de ABC, 0 ett le point direct de Brocard du triangle a^y, et son homologue dans lo triangle AoBod s'obtient en prenant sur iiO une Ion-
fifiOMËTIIlK DU TRIANGLE. 4?^
guonr iiQ|| = aûO. U résulte ds là que les points directs de Brocard des triangles A, B; Ci ontpoup Heu géométrique la circonférence ddcrite de 0 comme centre avec le rayon 00.
Appelons AiBaCa le triangle formé parles droites Aa, Dp, Cy; c'est une position particulière de AiBiGi. Les distances de 0 ans côtés du triangle AaBsCï sont égales à C'A, A'8, B'C ; elles sont donc proportionneHes à ces côtés, et 0 est le centi-e des symédianes de AîB^Cs. On déduit, de cette propriété, que le centra des symëdianes du triangla AjBiCi parcourt le cercle (OK) du triangle ABC.
Le rapport de similitude dos triangles AiBiCi, ABC est égal à celui des lignes homologues QA,, ûA; il a donc pour expression
sin(V+X):sinV,
ri se réduit à cosccVou colV, lorsqu'on compare A(,B„Ci,ou A^B^C, il ABC.
a" Lorsque les droites «i, 6,, ci font avec AC, BA, CB un mémo angle X, elles forment (fif;. aij) un triangle A'.B', C'j semblable à ABC
it doni les sommets décrivent les circonférences adjointes (BA), (CB),
47'1 KOTB 111.
(AC). Soient o', [J', y' les ceulros do ces cercles; 0 exi le point rétrograde de Brocard du triangle a'^'-f'- ie centre permanent de similitude dos triangles k\ B'i C'i est le point tlircct de Brocard de chacun d'eux; leur point rétrograde de Brocard décrit la circonférence qui a pour centre 0 et pour rayon Oii.
TfeitK trianghs ÀiBiCi, AiB',Ci (fig. a8 et 29), qui correspondent à la miSine valeur de X, sont é^ajix., et ont pour point double le centre 0 (ht rercle ABC.
Eu effet, ies cOtos bomologues se coupent sur les médiatrices OA', OB', OC dejVBC et Sonl un angle constant aX; par conséquent, une rotation autour de 0 amène l'un des triangles sur l'autre.
S5. Lo cas (Jrg. 3o) où trois droites «1, &i, cj d'une figure semblablcmeut varial)lc tournent autour de trois points A, B, C situés en
ligne droite se traite de la même manière que le cas général. Les points Al, B,, C) se meuvent sur trois circonférences Oa, Oi, Oc passant par le point D, d'où l'on voit les longueurs AB, BG, CA sous des angles égaux à ceux du triangle AiBiCi ou à leurs suppléments; ce point est un métapôle du triangle aplati ABC et du triangle AiB,C(. Les triangles DAiBj, DBjCi, DCiA, sont équiaugles à DBA, DCB, DAC;
GfiOllÉ'l'B
c le point D est fixe dans le plan
l'UUSlSLH, 4?^
G, G,, et la circo/iféi-ence Ai^id pafse constamment par D. De plus, la droite ABC peut Ôtre placée de telle fagooqnelespoints AetAi,BetBi,Cet Cl se correspondent dans une transformation par rayons vecteurs réciproques, effectuée du pôle D ; par suite, D est un centre métaharmonique des triangles AiBiCii ABC. Le triangle AiB, Cl devient maximum quand ses côtés sont perpendiculaires à DA, DB, DC. Tout point de la figure variable décrit une circonférence passant par D. En particulier, le centre du cercle AiBiCi se meut sur la circonférence OaOftOe; car, si la tangente menée en A au cercle Oc rencontre le cercle 0* en p, lo triangle CpA est une position particulière de AiBid et le point 0 se trouve on 0;,, elc.
THÉOBÈME.
56. Si trois points Ai, Bi, Ci d'une figm-e semblahlement variable tfj
parcourent les côtés BC, CA, AB d'un triangle donné HK, il existe un
point F de cette Jigitre qui reste fixe. Tout autre point décrit une
droite (Jg. 3i).
i circonférences ABiCj, BCiAi, CAiBi se coupent en un même
^1^ NOTi! lil.
point F, métapdle des triaîigles A,BiC,, ABC. Ce poiiil est donc fixe dans le plau A,B,C, ; il î'cst également dans le pian ABC, car les angles FBG, FCB sont égaux à FC,A,, FBiAi- F est donc un centrepernianmit de similitude do çi.
Menons FA», FB„, FCj perpendiculaires sur BC, CA, AB. Le faisceau F(AoBi,Co)peut être considéré comme étant la position i/iiiiaic du faisceau F(A,B,Ci). Le minimum du triangle AiBiCi est !e triangle podaire de F par rapport l'i ABC, et le rapport de similitude de çi et ?„
est exprimé par=^ = séc}., l désignant A„ FA,.
Soient Mo, Mj des points liomologues de fo, <ç, ; les triangles FMoMj, FAol, étant semblables, le lieu géométrique de Mj est la perpendiculaire menée en M„ sur la droite FM„.
S7. i" Si l'on fait tournei' le faisceau F(Ai,BijCo) du mémo angîe î> dans un sens ou l'autre, ses rayons coupent les eûtes de ABC aux sommets do doux triangles égau.t. Donc la figure oi, dans ses variations, passe deux fois par les m6mos états de grandeur.
a" On peut imaginer une seconde figure -p', qui varie en restant symétriquement semblable à -o,, avec la condition que les points homologues de At, Bi, Ci parcourent également les droites BC, CA, AB. Le centre permanent de similitude de f i est le point /, tripolairement associé à F dans lo triangle ABC, Nous laissons au lecteur le soin de démontrer que les inverses des aires des triangles podaires des points F, / ont une différence constante, e'gale à quatre fois l'inverse de l'aire ABC.
S8. Soit F' l'inverso de F dans le triangle ABC, et soit A„b;c'o le triangle podaire de F. Les triangles AoBoCo, A'oB'oCi sont inscrits dans la même circonférence ayant pour centre le milieu P( du segment FF' (j%. 3i).
Faisons tourner les deuy faisceaux F{A„B„C(,), F'(A'„b;g;) autour de leurs centres d'un mémo angle X, mais dans des sens contraires. Leurs rayons rencontrent BC, CA, AB aux sommets de deux triangles A,B,G,, A'iB'iC, qui sont respectivement semblables à AoBo Go, A'oB'oC'o.SoitPi le centre de la circonférence Al B,; G, les triangles FPoPj et F Ao A, étant directement semblables, il en est de même des triangles F'PoPi et F'A'oA',. n résulte de !à que les deux triangles AiBjGi, A,B'iG'i sont inscrits dans une mène circonférence.
On peut donner deux antres modes de génération des groupes de six points, tels quo AjBiCiA'iB', C'i, situés sur le périmètre d'un triangle fixe ABC et appartenant à une même circonférence. Soit t>!ic le triangle
(lÈOHÉTUllî DU ■]
formé par les droites BiCi, CiA'i, AiBj, et soit n'i'c' te triaiigio qui a pour eûtes les droites B, Ci, C, Ai, A\ Bi- Les côtés des triangles abe, a'b't^ oui des directions invariables, et leitfs sninmets parcourent trois droites fiées AE, BE, CE. En effet: i° Le (juadrilatère BiC',A',B'i étant inscrit, l'angle ABiC, =C',AÎBi ; donc les eûtes du triangle abc font avec CA, AB, BC des angles (Sgaus aux angles A'i, B,, C, dn triangle A', B'i C, , etc. 2° Les eûtes du triangle C, B', a ont des diroctiens fixes et doux sommets décrivent des droites; par suite, le point a so meut sur une droite passant par A. 3° Les eûtes opposés do l'hesagone inscrit AiB'jBiA'iCiC, se coupent en trois points a. A, a' situés eu ligne droite. 4° Enfin, les eûtes opposés de l'hexagone inscrit Ai A'iB,B, Ci Cj se coupant sur une m6me droite, les côtés de rang pair et ceux do rang impair forment deux triangles ABC, abc qui ont un centre d'homologie. Ciierehons les coordonnées normales x, j, s de E dans le triangle ABC. Le rapport ^ ; z est égal à celui des perpetidicukires menées du point a sur AC et AB; d'où
On déduit, de ces égalités.
sin A'i B'i C,
u A', C, lî',
iiA,B,C,
eosécAi eosécA'i cosécBi coséeB', coséeCi cosôcC,
S9. Examinons encore le cas (Jîg. 3a) où trois points Ai, Bj, C, d'une figure semblablement variable sont assujettis à se mouvoir sur trois
droites concourantes FA, FB, FC. Si l'on donne le point Ai sur FA et que la circonférence Ai Bi Ci rencontre les droites FA, FB, FC en a, 6, c,
478 NOTE ni.
on peut déteirainev les poiau b, c par la condition que les angles Ai 6B, AicF soient égaux h AiGjBi, A]BiCi,, ot, par suite, décrire la circonférence Atic. Cette construction montre que les côtésdu triangle Ai Bi Ci ae déplacent parallèlement à eiix-mênios, lorsque A, se meut sur FA. F est donc un centre permanent d'homoC/i^ùe.
H peut arriver que la eireonférence AiBiCi passo par F. Alors toute circonférence passant par F rencontre FA, FB, FC en Lrois points qui sont les sommets d'un triangle de forme constante; et F n'est plus un centre permanent de similitude.
SUR QUELQmis riiucLEs iiEMutQnAnLES.
60. Les résultats des n™ 5B, W!, S8 prennent une forme très simple, lorsque le triangle AiBiCi est directement semblable à BCA. Dans ce cas, F, F' sont les points de Brocard ù, O'; le triangle A'iB',Ci est semblable à CBA; le centre de la eireonféronce AiBiCi est situé sur la di-oito OK; les eûtes du triangle aùc sont parallèles à ceux de ABC; les côtés du triangio a' b' c' sont parallèles aux tangentes menées par A, B, C au cercle ABC; enfin, îe centre d'homologie E des triangles ABC, aie, a'ii'o' coïncide avec K.
Nous allons établir ces propriétés par une seconde métliode, qui a l'avantage de s'adapter aux polygones dits hannoniquef.
PUOBLÈME,
ai. Étant doitnÉ un triangle k\i{!,i nii. propose d'en construire un second abc qui soit /lomot/iélïque à ABC, et tel que les shs points de renconli'e des eûtes jwii homologues des deu.e triangles soient situés sur une même ei>;.-onférmce(f^'.Z3].
Soient a, 3', fi, p', Y, -[' ces points. Les points y, P', p, f' appartenant à uno mûme cire oufé ronce, -fp' est une transversale antiparaUèle de l'angle BAC. Mais la figure Ay^fl' est un parallélogramme; donc la droite Art passe par le milieu de ^P' et, par suite, est une symédiaiie de ABC. On conclut de là que le contre d'homothétio des triangles ABC, alic est le centre des syniodianos da chacun d'ouï.
Cette condition est suffisante. En effet, soieat m, n, p les centres des parallélogrammes A^^p', SabY, Cpca', et soit u le centre du cercle mnp. Puisque les syraodianes AK, BK, CK passent aux milieux des transversales p'y, ^'a, a'p, celles-ci sont parallèles aux côtés du triangle KaEi,K^. formé par les tangentes au cercle .4BC. Les angles AyP', B-f'a sont égdus comme étant égaux à ACB; d'où
Par conséquent, les triangles rcctanglos (om-f, bina., oipP sont égaux, et la est le centre d'un cercle passant par les six points a, a', p, p', y,-;'.
GfiOMfiïniK I
Les triangles ABC, m/ip étant hoinotlicUquea par rapport à K, w esl situé sur la droite OK.
62. l'LesdroiteSY^', "y'iP"' sont parallèlosauscôtésdu triangle KoKùKc et divisent les droites KA, KB, KC en parties proporlionnolles; eîles forment doue un triangle a'/''c', liomollié tique à K^KaKc par rapport à K.
■i" De l'égalité des ares {i'-f, 7'a, a'p, on confilut aîsiment que les triangles ja^, ^'■^'a' sont égaux entre eux ef semblables à ABC
3" Soient Si, ù' les points de Brocard du triangle ABC. Si l'on fait tourner le faisceau li(ABC) autour de û d'un angle quelconque, ses rayons
48o NOTli Hl.
renconl.rontAB,BC,CA aux sommets d'un IriûagleYaiJsomhlable à ABC; car les triangles itÀ.-(, QSat'QC^ sont directement semblables, d'où l'on comdut la simUitudc des triangles ûAB et a-^a, iiBC et i2«[i, liCA et û^-f . On voil qao 11 et li' sont les ceuLroB permanents de similitude dos triangles variables yap, p' 7' a' do la /g-. 33.
4" Lo lecteur trouvera faeiîomcnt la dômoiistratioii des théorèmes soivanls :
Soient P'Yi y'"i "'? ''■'"■* '^'''^' égau-x, dti mente sens, d'une evrcoiiférence. Les cordes^'f, y's, a'^ forment un triangle a'b'c'; les cordes aa.', pp', 7/' "" second triangle ABC; les cordes p-f', ^o/, ap', un troisième triangle abc. Ces trois triangles ont pour centre d'Iwmologie commun le centre des sf médianes des triangles ABC, abc.
On inscrit à une circonférence oi un hexagone aa'Yf'PP' dont les côtés opposés sont parallèles. Le triangle formé par les côtés de rang impair et celui qui est détermina par les eûtes de rang pair, ont mêmes symédiemes,
63. Si le triangle abc de la^. 33 se réduit au point K, on a le théorème suivant ;
Les parallèles owc côtés d'un triangle ABC, menées par le po'uit K, coupent les côtés en six points a, a', p, p', y, f' d'une même circonférence ayrmt son centre au milieu de OK {ftg- 34).
Les angles Kay, K-fp, Kpa ont pour mesures les moitiés des ai-cs égaux p'-y, a'p, f'n. Donc K est le po'ait direct de Brocard du triangle ap-f ; il est le point rétrograde de Brocard du triangle «'P'f'- Les
■s de-if.
GÉOiaÉTRlË nu TLU côtés de ces lriangle.1 sont parallèles awc Si'CABC).
Les côtés liomologues des triaugies ABC, y«P et les i' logueB des {aisceaus li(ABC), 2(fnp) font entre eux 1' suite, les triangles f AQ, aBii, ^Cli .' sont à l'intersection de AU, BC, GA aux milieux des rajons iiA, iiB, ûC.
Le rapport do simililude dos triangles •^a,^., ABC a
48 1 Si (ABC),
socèles, et les points •;, a, ^ Iss perpendiculaires menées
" sînaV "
64. Le triangle abc do li ^g 33 peut se réduire au point K; ce qui
donne la proposition suivante Les paraUèles aux côtés du triangle
■ ortkique de ABC, meiiei^t pai le point K, rencontrent les côtés des
angles BAC, CBA, ACB en su pnnts a, a', ?, ^', y, j d'une cii-confé-
renca ayant pour centre le point K (^g'. 35).
Fig. 35.
Cette figure donne lieu à plusieurs remarques intéressantes. E. et m; C. — Tr. de Géom. {I" Pai'tiu.) 3(
482 NOTE lis.
A un triangle donné ABC, on peut inscrire deux triangles a^-j, h'^'y' lytîTîi leurs côtés perpendiculaires à ceux de ABC. Ces triangles siint inscrits dans une même circonférence ayant pour centre le point K.
Si un keccagùnc inscrit a^'p^'ï"' "* *^* côtés opposés égaux et parallèles, le centre de la cù-conférence circonscrite est le centre des ijmédiaites de chacun des triangles ABC, abc formés avec des côtés alternants de l'hexagone,
Q. étant le 'centre de similitude des triangles -la^, ABC, dont les côtés lîomologuos sont perpendiculaires, les angles Aûfi Btia,CQp sont droits; donc le rapport de similitude de ces triangles a pour espression
THÉORÈME
ij"i. Soient H|, Us, llj les pieds des htenteurs du triangle AUC ; a', l/', c' les milieux des droites HîHa, lisHi, HiHj; p' et -y les projections de Hi sur AC et AB, f' <^t a celles de \h sur BA et l!C, a' et ^ ceUes de Ha sur CB et CA.
Cda posé ;
1° Les six points a, «', P, P', y. ï' ^wjî .s/îjïé.f J^w wjc oiéltne circonférence T.
3° ieï droites ^'y, -{a., a'P passent par deux des points a', h', c et ont pour longueur commune le demi-pérvnétre du triangle Hi Hî Us-
3" Le centre du cercle T est le centre du cercle i/iscrit au triangle a'b'c'; il est situé au milieu de chacu/ie des droites HjAft, H|B/i, HaC/, Joignant les pieds des hauteurs de ABC aux orthocentres des triangles AH^Hj, BHaHi, CHjHa (/Ig. 36).
Noua rattachons cotte proposition aux n*" 61 et 62.
On sait que les droites A«', 8 ù'. Ce' eoncoureal au centre Kdessyniédianos de ABC (N.,29). Par conséquent, le triangle a'b'c' est homottiétiquô à K„!C/,Ks par rapport à K, et ses côtâa rencontrent ceux de ABC en six points a, a\ ^, ji', •{, -f' d'une même circonférence, dont le centre T est situé E«r la droite OK.
Le triangle c'p'II, est isocèle, car
angle A p'-f = AHsH^ ^ ABC = CH, il,;
et l'angle Hap'H, est droit. Ainsi, les points a, a', p, P', ■;. t' ' pieds des hauteurs des triangles Allaîls, BHalli, GHiHj. Nous venons de trouver
par analogie,
Donc la droite p'f est égale au périmètre du triangle a'Ii'c',
Les cordes égales p'^, f'n, a p sont à égale distance du centre; donc T est le centre du cercle iaecrit au triangle ti'b'c.
Nous avons trois parallélogrammes AftHjHHa, B/,HsHHi, C/,HiHHï; donc les eètéa opposés de l'hexagone A^HaCAHiBAHs soDt égaux et parallèles, et les diagonales AAHi.BfeHa, G^Hj se coupent mutuellement en parties égales. La droite «'T, bissectrice do l'angle d dh\ est parallèle à Hslt/i et passe par le milieu de HsHj: donc oUc passe égalo-
l'ig. m.
ment par le milieu de HiB/,. On condut de là que T est le milieu de chacune des droites A/,Hi, Bftîl,, C/.Hs.
SCOLIB.
66. r Les droites AAft,BIi/„CC;i étant perpendiculaires ù HsIIj, IIsHi, HiHï concourent au centre 0 du cercle ABC. Les triangles A/,BftC/„ HiHsHj sont symétriques pai- rapport à T; donc leurs côtés homologues sont égaux et parallèles, et 0 est aussi l'onhocentre de A/jBaC/,. Soit h l'orthocentre de HiHsHs ; ce point est le symétrique de 0 par rapport à T, donc il est situé sur la droite OK.
484 NOTE ]ii.
t,° !*s droites p^'i T*'i "f ' forment im triangle ahc homothétique à ABC par rapport à K (N.,62), propriété qu'on peut démontrer directement.
La droite A«'K passe donc au milieu m de b'c'. Mais b'm est égal au demi-périmètre fm du triangle a'b'c' diminué do 6'y ~ a.'c'; donc m est le point do contact de b'c' avec le cercle inscrit au triangle d b' d. Autrement dit, K est le point de Gergonne du triangle a'b'c'.
3° Les droilea fHi, p'Hi étant perpendiculaires à n^', ay, la droite fiHi est perpendiculaire à p'f et H^Hj. Donc les lignes alii, bïit, cHa senties hauteurs du triangle HiHjHj; il est facile de voir que leur point de concours /i est aussi le centre du cercle circonscrit au triangle abc.
4° On sait que les triar ])oint de Brocard 2.
Leurs eôtéa homologues culer par la formule
tangç^- — (tangA-i-
Pour démontrer cello-( aurons (fig. K)
tangç^Uang.-ïB.:-=^, Œî; = E' m = 'i U'où, en éliminant ap et fp.
igles
3, ABC
(ont semblables et
ont raâme
font
angle ce
instant œ, que l'on
peut eal-
tang
tuugC)
---.. — tang A tang B
tangC.
.euc
ms ap ]
oerpeudiculaire à
AB; nous
"Jl
=, ^ Y£ ^ Il
CIla.Ba CHs Ba nH?
BH,.Hia~" BH/aH/ÏIia'
- = tangliiiiC!=- taugC,
on trouve la formule indiquée.
Soient ;: le rayon du cercle ï et ii celui du cercle ABC, Le triangle a Y y' donne
«!'= 2psint?.
Mais les quadrilatères OHjAIIj, OHsBili, OHiCHs ont pour mesures -IlaHa-AO, ilîsHi.BO, -HiHs.CO; par suite, l'aire du triangle ABC est
S^-R(llanj-4-HaHi+H,H2) = R-Kï',
yGoosle
GÉOMÉTRIE UU TIlliNGlR.
et comme on a
e rapport de similitude des triangles apf ■ -^^^ a pour valeur p siiiAsinBsiriC cosAcosB cosC
