CA
Aiï (lu triangle ABC. Oômontrer la formule
MNP BM.CN.AP + MC.NA.Pfi
ABC Àlt.lSti.CA
En conelure que i" si M', N', P' sont les isotomiques de^ pomts M N, P, les triangles MNP, M'N'P' sont équivalents; i" si ABCDCt- est un hexagone fJont, les côiôs opposés soient parallèles, les triangle*- ACE, BDF sont érpiivalents,
8. Calculer en fonction des côtés d'un triangle ABC : i" Une du triangie orlhique; -x" celle du triangle qui a pour sommets les pieds des trois bissectrices intérieures; 3° celle du triangle qui a pour sommets tes points do contact des côtés du triangle ABC avec le cercle insciit
9. Soit P un point quelconque du plan d'un triangle ABC, et soient III, Hj, Hb les orthocentres (N., 5) des triangles BGP, CAP ABP Di, montrer que les triangles ABC, iliHsHj sont équivalents.
10. Soient a, p, Y'es points où les médianes w, m', nî" du triangle A1)G rencontrent la circonférence circonscrite. Démontrer que
ABC aym'^/n'^m"^
a. Trois droites menées par les sommets d'un triangle ABC et par un même point P rencontrent les côtés ans points A', B', C. On les prolonge, dans les deux sens, des quantités
A'a-Aa' - AA', lï' p - H 3' -■ ItB', C'f^Cr'^CC'.
Démontrer que
a^-( -;,A'WC.'h-3ABV., a'S'y'^: A'ii'C'H-(1.4BC.
12. Sur les côtés du triangle ABC, on coustruiE, vers l'extérieur, les carrés BCDB, CAPK, ABLM; soient .ï,j', a ies centres de ces carrés, et soient X, Y, Z les quatrièmes sorainots des parallélogrammes construits sur AF et AM, BL et BE, CD et CK. Démontrer les propriétés suivantes :
1° Les droites FM, 13, DK sont égales et pcrpendiculHJres aux médianes de ABC.
QUESTIONS PROPOSÉES, 48g
2" Les droites AX, BY, CZ sont égales et perpendiculaires aux côtés de ABC.
3° Les droites As, Bj, Cz sont égales et perpendiculaires aux côtés du triangle a^s.
4° Les milieux des côtés du triangle ABC sont les centres des carrés construits intérieurement sur les côtés du triangle arjz.
5° Les pointa x, y, z sont les milieux des côtés du triangle XYZ.
6° Les triangles ABfi, ayz, XYZ, EKM, LPL ont même contre de gravité,
7° Les quadrilatères BCFM, FKBL, MLCK sont équivalents au carré construit sur/z.
S° L'hexagone EDKFMLE a pour mesure chacune des sommes BC^-i-aj^', CÂ'-i-2^\ AB ^- 2'^'.
9° Les droites Ax, BF, CM, KL concourent on un môrao point.
10° Les quadrilatères EDFM, KFLE, MLDK sont égaux à quatre fois le triangle icfs.
13. Les notations étant celles de l'exercice précédent, on demande de construire le triangle ABC, connaissant :
1° Les points x,y, z;
2° Les pointa X, Y, Z;
3° Le triangle formé par les droites DE, KF, ML suffisamment prolongées ;
4° Le triangle formé par les droites FM, LE, DK suffisamment pro-
M. Par un point P, pris dans le plan d'un triangle ABC, on mène une parallèle à BC, rencontrant CA en p, AB en y'; une parallèle à CA, rencontrant AB en f. BC en a'; enfin, une parallèle à AB, rencontrant BG on a, CA en ^'. Démontrer :
1" Que
^: ^ pp' . ït' ... „ .
2° Que les triangles a^-f- "'^'ï' ^"nt centre de gravité de ABC ; '<," Que la somme aa'
s coordonnées barycentriques (N., 2) de P sont alors
. loisque P est le lors |ue
yGoosle
liÇjO GÉOMÉl'KIK BU TRIANflLE.
Wi. Los notalioiiB étant celles cle l'exercice précéder ," Que
Pa , P|i , l'y 1^' , y , ^
■(" Que la somme l'es -i- Pp -H Py ost minimum, lorsque V est le point de Brocard û.
16. Étant dontté un trianj^e ABC, ddtorminer un poiut Ji tel que, si l'on mène les droites JiHi, Ji^i, iili parallèles à AB, BC, CA et rencontrant ea a,, p,, 7i les côtés BC, CA, AB, on ait
J,=,^.l,li. = J,-fi.
De même, déterminer un point Jj tel, que les droites J^a,, J^fl,, Jj-Jï parallèles à CA, AB, BC et limitées à BC, CA, AB, soient égales entre elles.
Les coordonnées normales des points .!i, J^ sont
l'inverse da J,ai cl .Ijas est égal à la somme des inverses de a, b, t ; l'oi-thocentro de l'un des triangles ûi|3ifi, aspîTî est le centre du cercle circonscrit à l'autre ; enfin, ces deux triangles ont môme cercle des neuf points.
17. Étant donné au triangle ABC, déterminer un point J tel, que les parallèles menées par ce point aux côtés de ABC et terminées aux autres côtés soient égales
Démontrer que Imveise de l'une de ces parallèles égale la demisomme des inverses des côtés de ABC, et que J est îe complémentaire du leoiproqiie du contie du cercle inscrit au triangle ABC.
Les associés harmoniques des points J, Ji, J| (voir l'énoncé précédent) jouissent de piopiiétés analogues.
18. Soient AM, AN deux droites symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle A du triangle ABC; soient M, N leurs points de rencontre avec BC, et M', N' leurs points do rencontre avec la circonférence ABC. On a
