LITRE I

Soient les deux triangles ABC,

S' C dans lesquels on suppose AB=A'B', AC=rA'C', angle BAC > angle B'A'C; il Fig. 34.

faut démontrer que le côté BC est plus grand que B'C.

Transportons le triangle A'B'C en ABC, de façon que A'B' coïncide avec AB; l'angle BAC, égal à B'A'C, étant moindre que BAC, le côté AC tombera dans l'intérieur de l'angle BAC. Soit I te point où la bissectrice de l'angle CAC rencontre BC; les deux triangles CAI, CAI ayant un angle égal GAI = CAl compris entre un côté commun AI et deux côtés égaux AC" = AC seront égaux et l'on aura IC = IC;mais, dans le triangle EG"1, on a

BC"<BI-I-IC"; donc

BC<Bl4-IC ou B'G'<BC.

k-l. Réciproquement, si deux triangles ont deux côtés égaux chacun à chacun, et si le troisième côté du premier est plus grand que le troisième côté du second, l'angle opposé dit premier triangle est plus grand gue l'angle opposé du second.

Ainsi, en supposant

AB=:A'B', AC = A'C', BC> B'C, on a

angle BAC > angle B'A'C En effet :

[" Si l'on avait angle BAC = angle B'A'C, les triangles seraient égaux (n°32) et l'on aurait BC = B'C',

2" Si l'on avait angle BAC < angle B'A'C, on aurait (n" 40) BC < B'C.

yGoosle

GËOHËTRIE PLANE.

§ ni. — DES PERPENDICULAIRES ET DES OBUQUES.

THÉORÈME

12. Si d'un point 0 pris hors d'une droite AB on mène à celle droite la perpendiculaire 01 et plusieurs obliques OC, OD, DE,...:

1° Deux obliques OC el OE dont les pieds C et E sont également distants du pied I de la perpendiculaire sont égales;

2° La perpendiculaire 01 est plus courte que toute oblique OC, et de deux obliques OC el OD ou OE et OD, celle dont le pied s'écarte le plus du pied l de la perpendiculaire est la plus

En effet :

i" Les deux iriangles OIG, OIE [Jig. 35), sont égaux comme

Fis. 3

ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux, savoir: l'angle droit OIC égal à l'angle droit OIE, le côlé 01 commun, et le côté IC égal à lE par hypothèse ; donc

a" Prolongeons la perpendiculaire 01 d'une quantitélO' = et menons les droites O'C, O'D.

Les droites OC et O'C sont égales (i") comme obliques s'écartam égalemenl du pied de la perpendiculaire Cl menée de C sur 00' ; on a de même OD ^ O'D. Or le triangle ODO' donne (39)

00' < OC -f- O'C < OD 4- O'D, d'où, en prenant les moitiés,