I< OC < OD
Sî l'on considérait deux obliques OD et OE situées de côtés différents par rapport à la perpendiculaire 01, on commencerait par prendre sur lA une longueur IG égale à lE; les obliques OC et OE seraient alors égales comme s'écartani également du pied de la perpendiculaire. Or. si lE est moindre que iD, IC le sera aussi; et, d'après l'alinéa précédent, l'oblique OC sera moindre que l'oblique OD. On aura donc encore OE < OD.
Corollaires.
43. La perpendiculaire 01 abaissée d'un point 0 sur une droite AB est la ligne droite la plus courte que l'on puisse mener de ce point à la droite: sa longueur est ce qu'on appelle la distance du point 0 à la droite AB.
il, La perpendiculaire 01 étant plus courte que toute oblique OC, il suit du n' 31 que l'angle OCI est moindre que l'angle droit OIC. Donc, lorsque deux droites AB et OC se coupent, la perpendiculaire Oî, abaissée d'un point de l'une sur l'autre, est située dans l'intérieur de l'angle aigu OCB formé par ces deux droites.
On peut conclure de ià que, dans tout triangle rectangle, les deux angles autres que l'angle droit sont aigus.
SCOLIES
45. L'exactitude des réciproques des propositions qui précèdent résulte immédiatement du principe général énoncé au n°7.
I" Si une droite est la plus courte qu'on puisse mener d'un point à une autre droite, ces deux droites sont perpendiculaires entre elles.
a6 gEouëthie i-lakk.
2° Si deux obliques à une même droite parlent d'un même point el sont égales entre elles, elles s'écartent également du pied de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite.
3" 5; deux obliques à une même droite parlent d'un même point et sont inégales, la plus grande s'éloigne le plus du pied de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite.
46. D'un même poini on ne peut mener à une droite que deux obliques égales, ei ces obliques sont situées de part et d'autre de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite.
THÉORÈME
47. Tout point M de la perpendiculaire CD éleuée sur le milieu d'une droite AB est également distant des extrémités A el hde cette droite [fig. 36).
En effet, C étant le milieu de AB, on a CA = CB; donc MA et MB sont des obliques qui s'écartent également du pied de la perpendiculaire CD. On a donc MA = MB.
48. Réciproquement, tout point M équidistant des extrémités A e( B d'une droite AB appartient à la perpendiculaire CD menée à cette droite par son milieu C.
En effet, le triangle MAB étant isocèle par hypothèse, la droite MC, qui joint le sommet au milieu G de la base, est perpendiculaire sur cette base.
Corollaires.
4». 11 résulte de ce qui précède que tous les points de la perpendiculaire menée à une droite par son milieu sont équidisianis des extrémités de cette droite, et que les points de cette perpendiculaire sont les seuls points du plan qui jouissent de celte propriété.
UVBE I. — LA LIGNE UROITE. 5,^
Eli Géomélrie plane, on donne le nom de lieu géométrique à la figure formée par l'ensemble des poinls du plan qui jouissent d'une propriété commune. On peut donc exprimer la double proposition qui précède en disani :
La perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite est le LIEU géométhioue des points éguidisiants des extrémités de cette droite.
Deux points suffisent pour déterminer une droite. Donc, dès qu'une droite a deux poinls équidistants des extrémités d'une seconde droite, on peut atfirmer que la première droite est perpendiculaire sur le milieu de la seconde.
THÉORÈME
