Dam le même cercle ou dans des cercles égaux

i" Deux angles au centre Égaux interceptent des arcs égaux ;

2° Si un angle au centre est la somme de deux autres angles au centre, l'arc intercepté par cet angle est la somme des arcs interceptés par les deux autres [Jig. S6].

1" Soieni AOB, .VO'B', deux angles au centre égaux enire eux; les deux arcs eorrespondanis AB et A'B' seroni égnux. En effet, en meniinl les cordes AB, A'B', on forme deux triangles AOB, A' 0' B', qui sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux, savoir ; l'angle AOB égal à l'angle A'O'iî' par hypothèse, et les côiés 0A = O'A', OB = 0'B', comme rayons de cercles égaux. Donc la corde AB est égale à la corde A'B', et, par suite (100), les arcs AB et A'B' que ces cordes sous-tendcni sont égaux entre eux.

2" Soient A'O'B' et BOC deux angles au centre; transportons ie premier en AOB à la suite du second, de manière a former (9) un angle AOO qui soit "la somme des deux angles proposés. L'arc ABC sera évidemment la somme des deux arcs AB et BC, et comme les arcs AB et A' B' sont é gaux, puis qu'ils correspondent à des angles au centre égaux, l'arc ABC sera la somme des arcs A'B' cl BC.

126. Il résulte de là (noie i) que, dans le m&nic. cercle oit dan.! des cercles égaux, le rapport de deux angles an centre est égal au rapport des arcs qu'ils interceptent ; en d'iuilres lermes, l'angle au centre d'un cercle est proportionnel à l'ara correspondant.

THÉORÈME

127. Tout angle a la même mesure que l'arc qu'il intercepte sur une circonférence décrite de son sommet comme centre, avec un rayon quelconque, pourvu que l'on prenne pour unité '/'angle l'angle au centre qui intercepte sur celte circonférence l'arc choisi pour unité d'arc.

En effei, soient {ftg. 81 ) AOB l'angle à mesurer et AB l'arc qu'il intercepte sur la circonférence de rayon arbitraire OA; AC ctanc l'unité d'arc, l'angle correspondant AOG sera, par hypothèse, l'unité d'angle. On a (126)

AOR iir-- AR AOC ^ arc AC '

Or le premier rapport est égal au nombre qui mesure l'angle AOB, ei le second est égal au nombre qui mesure l'arc AB. Donc, dans le système d'unités adopté, le nombre ijui mesure l'angle AOB est le même que celui qui mesure l'arc AB.

Comme ce théorème est d'un usage irès-fiéqueni.

C>4 gCohEtrie i-lank.

fère l'énoncer d'une manière plus rapide, (luoiqueiiicorrecli.^ D'abord on sous-enlend la condiiio» relaiiveà la correspondance des unités; puis on dii a pour mesure, au lieu de a la même mesure que; et l'on arrive ainsi à cet énoncé usuel: tout angle au ceiitrea pour mesure l'an: compris entre ses cûlés.

SCOLIE

128. Lorsqu'on prend l'angle droit pour unité, l'arc unité est le quart de la circonférence ou ie quadrant; car, si l'angle au centre AOB est droil(/ig'.8'3), les quatre angles AOB, BOC, COD, DOA, formés par les deux diamètres BOD, AOC, soni droits, et par suite égaux; les quatre arcs AB, BC, CD, DA, sont donc égaux entre eux, et chacun d'eux est le quart de la circonférence.

THÉORÈME

12!). 'J'out angle inscrit dans un cercle a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés.

Soit BAC un angle inscrit dans un cercle 0. Pour démontrer que cet angle a pour mesure la moitié de l'arc BC compris entre ses côtés, il convient rie distinguer trois cas:

1" Le centre 0 tombe sur l'un des côtés AC de l'angle BAC (/g", 88). Menons le rayon BO; le triangle BOA étant isocèle, les angles Aet B sont égaux, et comme (73) leur somme équivaut à l'angle extérieur BOC, l'angle A est égal à la moitié de BOC; mais ce dernier angle, avant son sommet au centre du cercle, a pour mesure l'arc BC. Donc l'angle proposé lïAC a pour mesure la moitié de l'arc BC.

FiG. go.

2" Le centre 0 tombe à l'intérieur de l'angle BAC {Jig. ^9). Menons le diamètre AOD; l'angle BAC est la somme des an-

i.lVilK 11. — LA CincONFEllIÏNCIi 1!E CKRCI.E. G5

gles BAD, DAC, qui, d'après le premier cas, ont respectivemeni pour mesure y BD el~ DC. La somme de ces deux arcs, c'est-à-dire la moilié de l'arc BDC, est donc ia mesure de l'aiigle BAC.

3" Le centre 0 tombe en dehors de l'angle BAC {Jig. 90}. Menons le diamètre AOD; l'angle BAC est la différence des angles BAD, CfCO, qui, d'après le premier cas, ont respectivement pour mesure f BD et ^ CD; la différence de ces arcs, c'est-à-dire la moitié de l'arc BC, est donc ia mesure de l'angle proposé BAC.

COROLLAIBES.

130. Supposons {/ig. 90) que, le côté AC restant fixe, la corde AB tourne autour du sommet A, de manière à devenir !a tangente AT au point A; dans toutes les positions de la corde AB, l'angle inscrit BAC aura pour mesure la moitié de l'arc correspondant BC; donc, à lalimite, r(iK^/eTAC,/ocm^ par une tangente AT et une corde AC issue du point de coritact, a pour mesure la moitié de l'arc AC compris entre ses côtés.

On peutd'ailleursdémomrer ce théorème, indépendamment de toute notion de limite. Il suffit, par exemple, d'observer que l'angle TAC est l'excès de l'angle droit 'TAD sur l'angle inscrit CAD; sa mesure est donc l'excès de la moitié de la demi-circonférence ABD sur la moitié rie l'arc CD, ou enfin la moilié de l'arc AC,

131 . On appelle segment la portion de cercle comprise entre un arc et sa corde. A chaque corde AB correspondent deux segments ACB, AMB {.fig- 91). On dit qu'«w angle est inscrit

segment lorsque son sommet est situé sur l'arc du